matematikk.net

En linje er gitt ved parameterfremstillingen:

[tex]l\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\y=2+t\\\end{array}\right[/tex]

Et punkt P(4,1) ligger utenfor linjen. Regn ut avstanden fra P til linjen.

Har fylt tre sider med idéer, og begynner å bli ganske så lei nå.

En metode er at vi skriver om parameterfremstillingen til en rett linje.
Jeg skriver litt grovt slik du selv kan fylle inn hullene

Vi løser øverste likning med tanke på t, og setter inn i nederste.
Da får vi at

[tex]y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}[/tex]

Så har vi en fin formel som fungerer like bra for to, som tre dimensjoner.

Avstanden fra et punkt til et plan er gitt som

[tex]d = \frac{ax + by + cz + d }{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}[/tex]

Her har vi [tex]a = -\frac{1}{2}[/tex] , [tex]b = 1[/tex] , [tex]c = 0[/tex] og [tex]d = -\frac13[/tex]. Vi har også at P(4,1) gir oss [tex]x=4[/tex], [tex]y=1[/tex] og [tex]z=0[/tex]

Alternativt setter du bare opp en ny parameterfremstilling.
Den korteste strekningen er en linje som står vinkelrett
på parameterfremstillingen. En slik linje er

[tex]l\left\{\begin{array}{l}x=4-2t\\y=1-t\\\end{array}\right[/tex]

Som er det samme som [tex]y = -2x + 9[/tex]
Da må vi finne ut hvor denne linja skjærer [tex]y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}[/tex]. Setter vi de like hverandre, finner vi at linjene skjærer hverandre i punktet [tex]P(3,3)[/tex]

For å finne korteste avstanden fra punktet til linja, trenger vi bare å finne avstanden mellom (3,3) og (4,1) dette kan gjøres via for eksempel pytagoras.

En tredje måte å se svaret på er å se på et tilfeldig punkt på linja, dette kan vi for eksempel skrive som [tex]S(1+2t,t+2)[/tex]

Så avstanden mellom P og S, får vi fra pytagoras som

[tex]d(t) = \sqrt{ (2t-3)^2 + (t+1)^2}[/tex]

For å finne minimumsverdien av denne deriverer vi. Heldigvis trenger vi bare å derivere det som står under rottegnet. Siden

[tex]\left( \sqrt{g(x)} \right)^\prime = \frac{g^\prime(x)}{\sqrt{g(x)}} [/tex]

Og vi er bare interresert i når [tex]g^\prime(x)=0[/tex]. Uansett, etter derivasjon får vi at

[tex]d^\prime (t)= 10t - 10 [/tex]

Slik at den minste distansen mellom punktene er gitt ved

[tex]d(1)[/tex] siden da er [tex]d^\prime(x) = 0[/tex]

Prøvde de to første metodene, men den første formelen kommer ikke før i R2, og dette er en R1 eksamensoppgave - så jeg venter litt med det.

Kom ikke så langt på den andre metoden, men den virker veldig grei. Likte best den tredje metoden

Takker for hjelpen