matematikk.net

Hei! Veit ikke helt hvordan jeg skal ta fatt på denne oppgaven og ville blitt kjempeglad om noen kunne hjelpt meg litt.

gitt transformasjonen [tex]T: P_1 -> P_2[/tex] gitt ved [tex]T(p(x))=xp(x)[/tex] [tex]P_1 og P_2[/tex] er vektorrom for første og andre ordre polynomer.

a) Er transformasjonen linear?

b) Hva vil koordinatene være for p(x)=1-2x i standard basisen for [tex]P_1 og P_2[/tex]?

c) Finn en transformasjon matrise for T. Bruk transformasjonsmatrisen til å formulere kordinatene til T(1-2x) i standardbasisen for [tex]P_2[/tex].

1) Sjekke om avbildningen er lineær. Dette betyr at du må sjekke om [tex]T(ap+bq)=aT(p)+bT(q)[/tex], der [tex]p,q[/tex] er polynomer og [tex]a,b[/tex] er skalarer.

2) Jeg regner med at med standardbasisen menes [tex]1,x,x^2,\cdots[/tex]. Det de spør om er egentlig koeffesientene til [tex]1,x,x^2[/tex] osv (disse er *basis*-elementer). (svar: (1,-2) i P_1).

3) En matrise for transformasjonen er gitt ved hva som skjer med basis-elementene i [tex]P_1[/tex]. Basiselementene er [tex]1[/tex] og [tex]x[/tex]. 1 sendes til [tex]x[/tex] og [tex]x[/tex] sendes til [tex]x^2[/tex], så matrisen er
[tex]\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex].

Fra 2) kan vi nå regne ut at koordinatene til [tex]T(1-2x)[/tex] er gitt som produktet
[tex]\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/tex].

Takk for hjelpen!!