matematikk.net

Hei!

Sliter med en tidligere gitt eksamensoppgave i R2 som spør om maksverdien av funksjonen:

y = 2 * x^(1/2) * e^(-x/3)

Og skal finne denne verdien ved hjelp av derivering.

Vet at jeg først må derivere funksjonen får så å sette 0 som verdi for y for å finne nullpunktene til den deriverte.

Når jeg har derivert kommer jeg fram til:

y'=x^(-1/2) * e^(-x/3) - (2/3)x^(1/2) * e^(-x/3)

Deretter har jeg sått y' = 0, og prøvd å ta ln på begge sider for å få vekk e^.

Men kommer ikke lenger...

Siden [tex]\ln(0)[/tex] ikke er definert, bør du vurdere en annen angrepsmetode. Jeg anbefaler å faktorisere ut [tex]e^{-\frac{x}{3}}[/tex].

her har du det:

Produktregelen og kjerneregelen gir:

[tex]2(sqrt{x} \cdot e^{-\frac{x}{3}})^\prime=2[(sqrt{x})^\prime \cdot e^{-\frac{x}{3}} + \sqrt{x} \cdot (e^{-\frac{x}{3}})^\prime]=2[\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^{-\frac{x}{3}}-\frac{\sqrt{x}}{3} e^{-\frac{x}{3}} ][/tex]


[tex]2[\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^{-\frac{x}{3}}-\frac{\sqrt{x}}{3} e^{-\frac{x}{3}} ][/tex]=0

[tex]2e^{\frac{-x}{3}}[\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{sqrt{x}}{3}]=0[/tex]

[tex]2e^{- \frac{x}{3}}=0[/tex]

[tex]\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{sqrt{x}}{3}=0 \: | \cdot \sqrt{x}[/tex]

[tex]\frac{1}{2}-\frac{x}{3}=0[/tex]

[tex]x=\frac{3}{2}[/tex]

Og finner verdi for y maks :
[tex]y(x)=2\sqrt{x}\cdot e^{-\frac{x}{3}}[/tex]

[tex]y(\frac{3}{2})=2\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\frac{3}{6}}=\sqrt{\frac{6}{e}}=1,48....[/tex]

La oss se bort fra endepunktet:

Siden [tex]y \, > \, 0[/tex] for [tex]x \, > \, 0[/tex] og [tex]\ln( x )[/tex] er en stigende funksjon, kan vi faktisk bruke et triks:

Heller derivere [tex]6 \cdot \ln( y / 2 )[/tex] med tanke på [tex]x[/tex].

Grunner er at [tex]6 \cdot \ln( y / 2)[/tex] er maksimal/minimal samtidig som [tex]y[/tex] er maksimal/minimal.