La oss anta at det er mulig å konstruere en vinkel [tex]\alpha[/tex]
Desom denne vinkelen er mulig å konstruere må det også være mulig å konstruere en n-kant med intærne vinkler lik [tex]\alpha[/tex].
Eksempelvis dersom vi antar det er mulig å konstruere vinkler på 30 grader, så må vi også kunne konstruere likesidede trekanter.
Gauss har et fint lemma som sier at
En n-kant er kun mulig å konstruere ved hjelp av linjal og passer
dersom [tex]n[/tex] kan skrives som et produkt av [tex]2[/tex] eller primtall på formen [tex]2^{2^n} + 1[/tex]. (Fermat primtall).
De eneste Fermat primtallene som er kjent i dag er
[tex]F_0 = 3\,,\, F_1 = 5\,,\, F_2 = 17\,,\, F_3 = 257[/tex] og [tex]F_4 = 65537[/tex].
Dette medfører at følgende [tex]n[/tex]-kanter er mulig å konstruere
[tex]n \,=\, 3\,,\, 4\,,\, 5\,,\, 6\,,\, 8\,,\, 10\,,\, 12\,,\, 15\,,\, 16\,,\, 17\,,\, 20\,,\, 24[/tex]
Mens følgende n-kanter er ikke mulig å konstruere ved passer og linjal
[tex]n \,=\, 7\,,\, 9\,,\, 11\,,\, 13\,,\, 14\,,\, 18\,,\, 19\,,\, 21\,,\, 22\,,\, 23\,,\, 25[/tex]
Dersom den interne vinkelen i en mangekant er [tex]70[/tex] grader, betyr det at vi må konstruere en mangekant med sider [tex]n = 36/11[/tex]. Dette er umulig, og følgelig er det også umulig å konstruere en vinkel på [tex]70[/tex] grader.
(For å beregne de interne vinklene i en mangekant er følgende formel nyttig [tex]\text{vinkel} = 180 - \frac{360}{n}[/tex] der [tex]n[/tex] er antall sider i mangekanten.)
EDIT:
Et alternativt argument er som følger. Anta det er mulig å konstruere en vinkel på 70 grader. Da er det også mulig å konstruere en vinkel på 10 grader. (trekke fra 60.) Men dersom det er mulig å konstruere en vinkel på 10 grader. Så er dette det samme som å kunne dele en vinkel i tre like store deler. Og det er umulig å dele inn en vinkel i tre like store deler.
http://en.wikipedia.org/wiki/Angle_trisection
