matematikk.net

Fikk en oppgave som var som følger:
Anne, Per og Liv skal fordele en mengde drops sa alle får minst ett hver.
Hvis de har tre drops er det en mulighet: alle får ett drops hver. Hvis de har fire drops er det tre muligheter, en får to drops og de andre to får ett.

Lag en regel for hvordan du kan finne antall mulige fordelinger for n antall drops.

Denne strevde jeg med en stund, men fikk den ikke til. Så jeg så i fasiten og der stod det:

(n-2)(n-1)
----------- Men hvorfor blir det slik?
2

er ikke helt sikker på hvorden det skal forklares, men

ant fordelinger som dannes er bestemt av trekanttallene
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91...
der
[tex]\frac{m(m+1)}{2}[/tex]

for
[tex]m \geq 1[/tex]

imidlertid er m = n - 2,
så ant fordelinger som dannes blir:

[tex]\frac{(n-2)(n-1))}{2}[/tex]

for
[tex]n \geq 3[/tex]

Forklaringen er over ungdomsskolenivå, men vel innenfor videregående nivå.

Siden alle tre skal få minst en drops hver kan vi like gjerne betrakte tilfellet der vi har (n-3) drops og alle må ikke få minst en hver. Dette er fordi vi like godt kan begynne enhver fordeling med å gi dem en drops hver, og så finne ut hvordan man skal fordele resten av dropsene.

Se for deg at vi legger dropsene på rekke , og så setter opp 2 skillevegger mellom dropsene. La 0 stå for drops og 1 stå for skillevegg.

Har vi for eksempel 12 drops, så deler vi først ut en til hver person, og står igjen med 9 drops. Disse plasserer vi i en rekke, og vi skal nå bestemme hvordan vi kan fordele de øvrige 9 dropsene:

Dette er rekken med 9 drops: 000000000

Nå skal vi plassere 2 skillevegger. Det kan gjøres f.eks. slik:

00001000100

Dropsene er nå delt inn i tre områder, delt inn av skilleveggene. Vi bestemmer at denne fordelingen skal bety at Anne får 4 drops (fordi det er fire drops før den første skilleveggen), Per får 3 drops (fordi det er 3 drops mellom de to skilleveggene) og Liv får 2 drops (fordi det er 2 drops etter den siste skilleveggen).

Det er klart at dette er en av mulighetene man kan dele dropsene mellom Anne, Per og Liv.

Hadde vi f.eks. ønsket å gi Anne 1 drops, Per 5 drops og Liv 3 drops kunne vi ha skrevet fordelingen slik:

10111110111

Hadde vi ønsket å gi Anne 0 drops, Per 2 drops og Liv 7 drops kunne vi ha skrevet fordelingen slik:

10010000000

Anne 6 drops, Per 0 drops og Liv 3 drops: 00000011000

Anne 0 drops, Per 9 drops, Liv 0 drops: 10000000001

Jeg håper det er klart at alle måter å fordele dropsene mellom personene på kan illustreres med 1-tall (skillevegger) og 0-tall(drops) slik som gjort ovenfor, og at alle slike rekker med to 1-tall og ni 0-tall illustrerer en måte å fordele dropsene blant de tre personene på.


Problemet er derfor løst ved å se på hvor mange forskjellige måter vi kan plassere to 1-tall i en rekke på ni 0-tall.

På videregående skole lærer du at det kan gjøres på:

[tex] {9+2 \choose 2} = {11 \choose 2} = \frac{11 \cdot 10}{2}[/tex]

men husk at 9 kom fra at vi fjernet 3 drops, slik at dette egentlig er:

[tex] {(12-3)+2 \choose 2} = {12-1 \choose 2} = \frac{11 \cdot 10}{2}[/tex]

Har du forstått tankegangen i denne forklaringen så er det kanskje ikke så vanskelig å konkludere med at hadde vi begynt med n drops hadde antall måter å fordele dropsene på vært:

[tex] {(n-3)+2 \choose 2} = {n-1 \choose 2} = \frac{(n-1)(n-2)}{2}[/tex]