matematikk.net

Trenger litt hjelp med et argument i et bevis. Vi har en endelig kropp [tex]F=GF(p^n)[/tex] (antall elementer er altså p^n), og vi har at char(F)=p som er et odde primtall. Vi velger så en a i F og lager mengdene:
[tex]A= \{a-x^2 | x \in F \}[/tex], og [tex]B= \{y^2 | y \in F \}[/tex]. Det blir så bemerket at [tex]|A|=\frac{p^n-1}{2}+1 = \frac{p^n+1}{2} = |B|[/tex]. Hvorfor?

[tex] x^2 = y^2 [/tex] hvis og bare hvis [tex] x = \pm y[/tex].

Og [tex] x = -x[/tex] hvis og bare hvis [tex] x = 0[/tex].


[tex]B[/tex] består altså av 0 og halvparten av de resterende elementene i kroppen.

Tror den er grei. Er det noe lignende for A?

Det blir helt tilsvarende:

[tex]a - x^2 = a - y^2[/tex] hvis og bare hvis [tex]x = \pm y[/tex].
Og [tex] x = -x [/tex] hvis og bare hvis [tex]x = 0[/tex].
[tex]A[/tex] består av [tex]a[/tex] og halvparten av de resterende elementene i kroppen.

Takk for hjelpen!