matematikk.net

Jeg spør ikke for å være pirkete, men rett og slett for å forstå.

Definisjonen som står på matematikk.net
"Graf
En graf er en kurve (linje) som viser sammenhengen mellom to variable størrelser, for eksempel x og y."

Er ikke forskjellen på en graf og en kurve at en graf kan vise flere kurver, mens kurven viser hva som blir resultatet av én funksjon?

Det er vel her snakk om grafen til en funksjon f(x), og den er vel såvidt jeg vet definert som mengden av punkter [tex]\{(x,f(x))\in\mathbb{R^2}\}[/tex].

Virker som du forveksler graf med koordinatsystem? I så fall blir det riktigere å si at det er mulig å tegne inn flere grafer til ulike funksjoner i ett og samme koordinatsystem.

Hvis du bruker en funksjon [tex]f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex], altså en funksjon fra de reelle tall til de reelle tall, til å angi en viss sammenheng mellom x og y, nemlig [tex]y=f(x)[/tex], så er den resulterende punktmengden [tex]\{ (x,y) \, | \, y=f(x) \}[/tex] det man kaller grafen til f.

En kurve derimot, er noe mer generelt, og definisjonene varierer. Vi har vel alle et intuitivt bilde av hva en kurve i planet er, men det viser seg å være vanskelig å definere dem matematisk. Lar man for eksempel kurver være alle punktmengder [tex]\{(x,y) | x=f(t), y=g(t) \}[/tex] der [tex]f,g[/tex] er kontinuerlige, så ender man opp med å definere blant annet kvadrater som kurver (mener det var det foreleseren min i kalkulus sa).

Takk for svar begge to!

plutarco wrote:Det er vel her snakk om grafen til en funksjon f(x), og den er vel såvidt jeg vet definert som mengden av punkter [tex]\{(x,f(x))\in\mathbb{R^2}\}[/tex].

Virker som du forveksler graf med koordinatsystem? I så fall blir det riktigere å si at det er mulig å tegne inn flere grafer til ulike funksjoner i ett og samme koordinatsystem.

Når jeg leser ordet graf, så er jeg vant med å tenke på det som graf i en veldig generell form, hvor - slik jeg har forstått det - er et koordinatsystem er en av mange typer grafer (?). Graf litt som «grafikk».

Ut fra svaret ditt, så er det vel slik å forstå at når ordet «graf» står, så er det å regne som «graf av funksjon».

svinepels wrote:Hvis du bruker en funksjon [tex]f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex], altså en funksjon fra de reelle tall til de reelle tall, til å angi en viss sammenheng mellom x og y, nemlig [tex]y=f(x)[/tex], så er den resulterende punktmengden [tex]\{ (x,y) \, | \, y=f(x) \}[/tex] det man kaller grafen til f.

En kurve derimot, er noe mer generelt, og definisjonene varierer. Vi har vel alle et intuitivt bilde av hva en kurve i planet er, men det viser seg å være vanskelig å definere dem matematisk. Lar man for eksempel kurver være alle punktmengder [tex]\{(x,y) | x=f(t), y=g(t) \}[/tex] der [tex]f,g[/tex] er kontinuerlige, så ender man opp med å definere blant annet kvadrater som kurver (mener det var det foreleseren min i kalkulus sa).

Er det noen gode regler for i hvilke situasjoner man skal bruke begrepet graf [av funksjon] og kurve?

Det er vel en del "billedlige fremstillinger av funksjoner" som er begge deler?

Grunnen til at jeg spør er at jeg ser begge begrepene i bruk, uten at jeg helt har skilt hva som gjør at man bruker det ene ordet heller enn det andre.

På norsk Wikipedia (og dette vet jeg ikke om stemmer) står det: For reelle funksjoner blir ordet kurve også brukt synonymt med grafen til funksjonen.

Jeg har alltid bare sett på en kurve som et hvilket som helst segment av en ikke-lineær graf.

Det er dog bare konnotasjon som jeg har plukka opp uten videre seremoni.

"(...) begrepet omfatter også rette linjer". www.snl.no/kurve

Enig i at det rent intuitivt høres litt pussig ut.

Well... fuck.

I de fleste tilfeller kan man vel si at grafen til en funksjon y=f(x) er et spesielt eksempel på en kurve, men hva med dette eksempelet:

f(x) = 1; hvis x er rasjonal
f(x) = 0; hvis x er irrasjonal

grafen til denne funksjonen er en veldefinert punktmengde, men ikke akkurat en særlig sammenhengende og fin kurve. er den en "kurve" i det hele tatt? igjen, et definisjonsspørsmål.

EDIT: Rette linjer er kurver.

En generell kurve i euklidsk rom er vel bare en kontinuerlig funksjon [tex]f\,:\,\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{n}[/tex] ? Mener dette er den vanlige definisjonen. Mer generellt kan man erstatte [tex]\mathbb{R}[/tex] i definisjonen med en undermengde [tex]I\subseteq \mathbb{R}[/tex] som inneholder origo.

Interessant. Kan du poste grafen for den funksjonen her i tråden svinepels?

Er det slik å forstå at et eksempel på en kurve er en graf av en fuksjon, men at kurver også kan være basert på andre ting enn fuksjoner/ligninger?

Du mener et bilde av den? Det blir litt vanskelig, for den er ikke så lett å visualisere. Se for deg to uendelig fint stiplede linjer som går parallelt med x-aksen, gjennom y=0 og y=1 på y-aksen.

Kurver er ikke alltid grafen til en funksjon på formen y=f(x). En sirkel er nemlig en kurve, men ikke grafen til en slik funksjon.

espen180 wrote:En generell kurve i euklidsk rom er vel bare en kontinuerlig funksjon [tex]f\,:\,\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{n}[/tex] ? Mener dette er den vanlige definisjonen. Mer generellt kan man erstatte [tex]\mathbb{R}[/tex] i definisjonen med en undermengde [tex]I\subseteq \mathbb{R}[/tex] som inneholder origo.

Trodde kurven ble sett på som punktmengden som oppstår når man "tegner" funksjonen, ikke funksjonen selv.

For eksempel er [tex]f(t) = (\cos t, \sin t)[/tex] og [tex]g(t)= (\cos t^2, \sin t^2)[/tex] forskjellige som funksjoner, men mengdene [tex]\{f(t) \, | \, t \in \mathbb{R} \}[/tex] og [tex]\{g(t) \, | \, t \in \mathbb{R}}[/tex] er de samme.

Men kan godt hende du har rett...

Grafen til funksjonen f(x) er vel helt generelt definert som mengden av par (x,f(x)) der x er elementer i en eller annen mengde. Når [tex]x\in\mathbb{R}[/tex] er denne samlingen av par, inntegnet i et koordinatsystem, det som kalles grafen til f.

En kurve er vel generelt definert som en kontinuerlig avbildning fra et interval i de reelle tallene.

Å gi en funksjon [tex]f\,:\,X\rightarrow Y[/tex] er det samme som å gi grafen [tex]\{(x,y)\in X\times Y \mid y=f(x)\}[/tex]. Når man formaliserer begrepet om en funksjon, definerer man en funksjon som sin egen graf eller punktmengde.

Angående eksempelet ditt, vil jeg si at mengdene bør inneholde corresponderende t-verdier til funksjonsverdiene for at de skal gi mening. Ellers kan enhver bundet funksjon skaleres slik at mengdene sammenfaller. For eksempel [tex]h(t)=x e^{-x^2}[/tex] med en passende skaleringsfaktor.

plutarco wrote:Grafen til funksjonen f(x) er vel helt generelt definert som mengden av par (x,f(x)) der x er elementer i en eller annen mengde. Når [tex]x\in\mathbb{R}[/tex] er denne samlingen av par, inntegnet i et koordinatsystem, det som kalles grafen til f.

En kurve er vel generelt definert som en kontinuerlig avbildning fra et interval i de reelle tallene.

Det var en hendig beskrivelse.

Når det gjelder kurver, angående det du skriver om kontinuerlig avbilding, vil det si at avbildningen for funksjonen f(x)=1/(x-5) resulterer i to kurver?