matematikk.net

Holder på med restklasser, normale undergrupper og faktorgrupper for tiden og føler meg ikke helt stø på det. Lurte f.eks. på om noen kunne gi meg noen hint på denne oppgaven:

La H være en normal undergruppe av G. Vis at [tex]a^{(G:H)} \in H[/tex] for alle [tex]a \in G[/tex].

En annen en: Dersom G er endelig og har nøyaktig én undergruppe H av orden n, vis at H er normal.

EDIT: Tror jeg har funnet en strategi på den første. Ser på faktorgruppen G/H, som har orden (G:H). Da må [tex](aH)^{(G:H)} = H[/tex] for alle aH i G/H, siden H er identiteten i G/H (dette er et korollar av Lagranges teorem). Men per definisjon er [tex](aH)^{(G:H)} = a^{(G:H)}H[/tex]. Den sistnevnte mengden er altså lik H, som betyr at [tex]a^{(G:H)} \in H[/tex].

Fikk hjelp et annet sted på nr 2. Beviset går som følger:

La [tex]g \in G[/tex]. Vi vet at [tex]i_g : H \to G[/tex] gitt ved [tex]i_g(h)=ghg^{-1}[/tex] er en homomorfi, og da må bildet [tex]i_g(G)[/tex] være en undergruppe av G med samme orden som H. Men siden det kun finnes én undergruppe av G med denne ordenen, nemlig H, må [tex]i_g(G)=\{ghg^{-1}:g \in G \} = H[/tex]. Altså er [tex]ghg^{-1} = h_1[/tex] for en [tex]h_1 \in H[/tex], og [tex]gh=h_1g[/tex]. Dermed er [tex]gH=Hg[/tex].

Har et annet spørsmål. Har sett en del oppgaver der man blir bedt om å identifisere en faktorgruppe [tex]G/H[/tex] der G typisk er et direkte produkt av to eller flere sykliske grupper ([tex]\mathbb{Z}, \mathbb{Z_n}[/tex]) og der H er en undergruppe generert av et eller annet element.

Har forstått det slik at siden sykliske grupper er abelske, så må G i dette tilfellet være abelsk, og dermed er også faktoren G/H abelsk. Fra et fundamentalt teorem følger det derfor at G/H er isomorf med et direkte produkt av sykliske grupper

[tex]\prod_{i=1}^n \mathbb{Z}_{p_i^{r_i}}[/tex]

der [tex]p_i[/tex] er primall, osv. Oppgaven blir derfor å finne hvilket slikt direkte produkt som G/H er isomorf med.

Et eksempel:

Skal identifisere [tex]G/H[/tex] der [tex]G=\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4[/tex] og [tex]H=\langle (0,2) \rangle[/tex].

G må ha orden 2*4 = 8, mens [tex]H= \{ (0,0), (0,2) \}[/tex] så H har orden 2. Da har G/H orden 8/2 = 4. Det finnes to ulike abelske grupper (eller grupper i det hele tatt) av orden 4, nemlig [tex]\mathbb{Z}_4[/tex] og [tex]\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2[/tex].

Etter å ha kommet så langt, er ikke framgangsmåten helt rett frem, men jeg kan for eksempel observere at alle elementene i [tex]\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2[/tex] har orden 2, så hvis jeg kan finne et element med orden 4 i G/H, så må G/H være isomorf med [tex]\mathbb{Z}_4[/tex].

Men hvis vi ser på [tex][(1,0) + H] \in G/H[/tex] så er [tex]4[(1,0)+H] = 4(1,0) + H = (0,0) + H = H[/tex] (identiteten i G/H), og 4 er også det minste tallet som oppfyller dette. Altså har [tex](1,0)+H[/tex] orden 4, og derfor må G/H være isomorf med [tex]\mathbb{Z}_4[/tex].

Lurer først og fremst på om dette resonnementet er gyldig, og har støttet på en del lignende oppgaver som jeg har problemer med, typisk inngår [tex]\mathbb{Z}[/tex] istedenfor [tex]\mathbb{Z}_n[/tex]. Kommer til å spørre om disse etter hvert, hvis noen orker å hjelpe meg. Takker på forhånd for svar!

Resonneringen din ser helt riktig ut.

Takk for den! Har et par spørsmål til, om noen orker. Kan noen gi et eksempel på en faktorgruppe G/H isomorf med en ikke-syklisk gruppe der G = [tex]\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n[/tex] og [tex]H=\langle (a,b) \rangle[/tex] for heltall m,n,a,b? For jeg støtter ikke på noen eksempler i boka, virker som om G/H alltid er isomorf med en syklisk gruppe i disse tilfellene (eneste muligheten blir vel [tex]\mathbb{Z}_{|G|/|H|}[/tex] hvis jeg ikke tar helt feil).

Synes også det blir vanskeligere når man jobber med [tex]\mathbb{Z}[/tex]. Et eksempel: Skal identifisere G/H der [tex]G=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}[/tex] og [tex]H=\langle (0,1) \rangle[/tex]. Her tenker jeg at restklassene i G/H vil være på formen

[tex](a,b) + H = \{ \ldots , (a,b-1) , (a,b) , (a,b+1), \ldots \}[/tex]

og at hva b er for noe egentlig ikke har noe å si, siden uansett hvilket heltall b er så vil følgen (som fortsetter uendelig i begge veier) [tex]\ldots , b-1, b, b+1, \ldots[/tex] inneholde alle heltall. Derfor er det kun det ene tallet a som i dette tilfellet har noe å si, og G/H vil være isomorf med [tex]\mathbb{Z}[/tex]. Dette er også riktig i fasiten, spørsmålet er hvordan jeg gjør dette til et ordentlig argument.

Hvis du for eksempel lar [tex]m=8[/tex] og [tex]n=2[/tex] og [tex]H=\langle (4,0)\rangle[/tex], vil [tex]G/H\approx \mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2[/tex] som ikke er syklisk.

For det andre kan du jo lage en projeksjonshomomorfi og bruke 1. isomorfiteorem?

Ah, den var smart. Bare for å være sikker på om jeg forstår deg rett: Ser på [tex]\phi:\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[/tex] gitt ved [tex]\phi(x,y)=x[/tex], som er en homomorfi. Her er [tex]Ker \phi = \{(x,y) \in G \, : \, x=0 \} = \{(0,y) \, : \, y \in \mathbb{Z}\} = \langle (0,1) \rangle[/tex].

Da vet vi fra isomorfiteoremet at [tex](\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) / \langle (0,1) \rangle[/tex] er isomorf med [tex]\mathbb{Z}[/tex] (siden phi er på), hvilket skulle vises.

Lurer på en oppgave til: Skal identifisere [tex](\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_8) / \langle (1,2,4) \rangle[/tex]. Finner raskt ut at dette må være en abelsk gruppe av orden 32, men hvilken av dem det skal være, sliter jeg litt med å finne ut. Er det noen som har noen nyttige triks for å finne ut slikt?

Takk for hjelpen!

Jeg vil tro det er [tex]\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_8[/tex] siden [tex]\langle (1,2,4)\rangle\approx \mathbb{Z}_4[/tex]. La [tex]G=\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_8[/tex]. Jeg vil tro at å lage homomorfier og bruke isomorfiteoremene er den letteste måten å løse disse oppgavene på.

Obs: løsningsforslag under.

Se på homomorfien fra [tex]G[/tex] til seg selv gitt ved å sende [tex](a,b,c)[/tex] til [tex](0,b-2a,c-4a)[/tex]. Det er en homomorfi siden den er lineær. Bildet er [tex]\{0\}\times \mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_8\approx \mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_8[/tex] og kjernen er [tex]\langle(1,2,4)\rangle[/tex]. Første isomorfiteorem bekrefter gjetningen jeg gjorde over.