Translasjon av koordinatsystem
Posted: 14/05-2012 11:19
Jeg skal vise at
[tex]\iint_R x^2 + y^2 \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, = \, \frac{3}{3} \pi a^2[/tex]
Der R er arealet av en sirkel med sentrum i [tex](0,a)[/tex]. En metode er med polarkoordinater da ender vi opp med
[tex]\int_0^\pi \int_0^{2 a \cos \theta} r^3 \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta[/tex]
Men hvordan gjør vi det om vi vil fiksere sentrum av sirkelen i origo? Vil en da bruke [tex]x = u , y = v + a[/tex] ?
Det jeg da ender opp med er da at
[tex]\left| \frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right| = 1[/tex] og så får vi
[tex]\iint_{R_1} u^2 + (v + a)^2 \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v[/tex]
Innfører jeg nå koordinater får jeg
[tex]\int_0^{2\pi} \int_0^a r^2 \cos(\theta)^2 + \left( r \sin \theta + a\right)^2 \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \, = \, \frac{8}{3}\pi a^3[/tex]
Som blir feil :/
EDIT: Håper noen flytter denne
EDIT2: DER FANT JEG DEN RØVEREN AVEN SLURVEFEIL, GUD SÅ FLAUT.
Lar den stå jeg, så finner sikkert noen andre feilen min og
[tex]\iint_R x^2 + y^2 \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, = \, \frac{3}{3} \pi a^2[/tex]
Der R er arealet av en sirkel med sentrum i [tex](0,a)[/tex]. En metode er med polarkoordinater da ender vi opp med
[tex]\int_0^\pi \int_0^{2 a \cos \theta} r^3 \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta[/tex]
Men hvordan gjør vi det om vi vil fiksere sentrum av sirkelen i origo? Vil en da bruke [tex]x = u , y = v + a[/tex] ?
Det jeg da ender opp med er da at
[tex]\left| \frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right| = 1[/tex] og så får vi
[tex]\iint_{R_1} u^2 + (v + a)^2 \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v[/tex]
Innfører jeg nå koordinater får jeg
[tex]\int_0^{2\pi} \int_0^a r^2 \cos(\theta)^2 + \left( r \sin \theta + a\right)^2 \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \, = \, \frac{8}{3}\pi a^3[/tex]
Som blir feil :/
EDIT: Håper noen flytter denne
EDIT2: DER FANT JEG DEN RØVEREN AVEN SLURVEFEIL, GUD SÅ FLAUT.
Lar den stå jeg, så finner sikkert noen andre feilen min og