matematikk.net

Ved idrettsanlegget står det et kunstverk på en sokkel. Sokkelen har form som en terning. Sidekanten til terningen er 40 cm. Det skal legges 3 rader med kvadratiske steiner rundt sokkelen. Sidekanten til steinene er 10 cm.

Hvor mange steiner trengs det dersom man ønsker å legge n rader med stein?

Under antar jeg at steinene skal være kubiske.

EDIT: Dette ble bare rot. Det opprinnelige forslaget mitt virker, men er ikke så elegant. I det andre gikk det litt fort i svingene.

Hvis du begynner å legge steiner rundt sokkelen, får man jo 20 steiner på første rad (n=1). Legger man en ny rad (n=2) trenger man 28 steiner, og på rad tre 36 (n=3). Tilsammen (rad 1 + rad 2 +rad 3) = 84 steiner
Vi ser at det øker med 8 steiner for hver ny rad.

Så til oppgaven : hva blir den generelle formelen for antall steiner som trengs tilsammen rundt sokkelen hvis man ønsker å legge n rader??

Ah! Hvis vi ikke skal dekke hele kuben, men bare legge en rand rundt nederst, blir det annerledes. Da holder det med en forenklet utgave av det første argumentet mitt: for hver av de n radene legger man til fire stjerner på hver side. I de fire hjørnene oppstår det kvadratiske tomrom som har sidelengde n ganger sidelengden til steinen. I hvert av disse rommene er det da plass til n steiner. Totalt: [tex]4n^2 + 16n[/tex].

Det andre argumentet mitt virker også, når man husker på at sidelengden øker med 2 steiner for hver rad, og ikke 1 som var feilen jeg gjorde. Bunnen i sokkelen utgjør et kvadrat som er 40 cm x 40 cm, som er like stort som 4x4 steiner. Altså skal steinene pluss sokkelen utgjøre et område som er like stort som (2n + 4) x (2n + 4) steiner. Men vi må trekke fra de steinene som vi ikke kan plassere på grunn av sokkelen. Altså har vi [tex](2n + 4) - 4^2 = 4n^2 + 16n[/tex].

Yes, da blir det rett.

Hva med 8n+12?
(Bedre sent enn aldri...)