matematikk.net

Hei.

Sliter litt med logikken i følgende oppgave:

Myonet har en levetid på [tex]2,2 \mu s[/tex] når det er i ro. Et myon som blir dannet ved jorda, har så stor fart at det når fram til Andromedagalaksen (2,3 millioner lysår unna) før det forsvinner.

a) Hvor lenge observerer vi at myonet lever, sett fra jorda?

b) Hvor langt er det til Andromedagalaksen sett fra myonets treghetssystem?


OK, det som gjør at jeg ikke ser logikken her, er at i et eksempel i læreboken (ERGO), så opplyses det om at farten til myonet er [tex]0,998c[/tex]. I følge klassisk fysikk på jordoverflaten vil derfor myonet kunne bevege seg:

[tex]s = vt_0 = 0,998 \cdot 3,00 \cdot 10^8 \cdot 2,2 \cdot 10^{-6} = 660 m[/tex]

Dette er også svaret som skal være på oppgave b) under.

Det jeg imiderltid ikke forstår er hvordan myonet i det hele tatt kan reise så langt som til Andromedagalaksen før det dør ut. Eksemplet i læreboken viser nemlig at ettersom [tex]v = 0,998c[/tex] så er lorentzfaktoren [tex]\gamma = 16[/tex]. I forhold til jordoverflaten blir dermed levetiden

[tex]t = \gamma t_0 = 16 \cdot 2,2 \mu s = 35 \mu s[/tex]

Og på denne tiden vil myonet bevege seg strekningen:

[tex]s = vt = 0,998 \cdot 3,00 \cdot 10^8 \cdot 35 \cdot 10^{-6} = 10 km[/tex]

Så hvordan kan myonet nå frem til Andromedagalaksen når vi, ved å gå veien om lorentzfaktoren, har regnet ut at myonet kun kan bevege seg [tex]10 km[/tex]?

Setter stor pris på om noen kan forklare dette for meg!

Det hele kommer jo an på muonets hastighet. Det er vel neppe slik at alle muoner har nøyaktig samme hastighet/energi.

Plutarco -

Ja, jeg tenkte faktisk akkurat på det samme for kun 5 minutter siden . Det logiske her er jo at muonet beveger seg med en hastighet ekstremt nærmt lysets hastighet slik at lorentzfaktoren blir meget stor. Da vil det jo være mulig for muonet å reise til Andromedagalaksen på så kort tid. Jeg begynte å rote mye på oppgaven her rett og slett fordi jeg antok at 0,998c var det som gjaldt for alle muoner.

Takk for svar btw!

Whoa. Bruker lyset under [tex]2.2 \mu s[/tex] på å tilbakelegge avstanden mellom jorda og Andromeda?

"Da vil det jo være mulig for muonet å reise til Andromedagalaksen på så kort tid."

Dette er strengt tatt ikke presist formulert. Det som skjer er jo, som du sikkert også har funnet ut, at levetida målt i forhold til et inertialsystem som er i ro i forhold til jorda, vokser ubegrenset når farten går mot lyshastigheten.(pga at [tex]\gamma[/tex] vokser ubegrenset) Dette muliggjør jo at muonet kan tilbakelegge ubegrenset lange avstander (i teorien) i løpet av sin levetid (altså sin levetid slik vi på jorda måler den).

Ingenting av dette strider imot prinsippene om at ingenting kan gå fortere enn c.

Moralen er, som vanlig, at tid er relativt.

Takk skal du ha! Ja, formuleringen min er nok ikke helt eksakt. Lærer dette for første gang, så må jobbe mer med det før det sitter

Må imidlertid innrømme at dette er litt vanskelig å "get my head around". Altså at muonet kan i teorien tilbakelegge ubegrensede avstander i løpet av sin levetid, men samtidig aldri overstige c.

Tror jeg må fundere litt mer på dette. . .

Aleks855 wrote:Whoa. Bruker lyset under [tex]2.2 \mu s[/tex] på å tilbakelegge avstanden mellom jorda og Andromeda?

Hehe, absolutt ikke. Det tar jo 2,3mill år for lyset å tilbakelegge avstanden...

Poenget er at levetida for muonet øker til mer enn dette når hastgheten øker mot lyshastigheten. Dermed vil muonet leve lenge nok til at det rekker å tilbakelegge hele avstanden før det dør.

plutarco: Men er ikke forklaringen på hvorfor muonet kan nå så langt, at avstanden mellom Jorden og Andromeda får en lengdeforkortelse i forhold til vårt referansesystem når hastigheten blir stor?

krje1980 wrote:plutarco: Men er ikke forklaringen på hvorfor muonet kan nå så langt, at avstanden mellom Jorden og Andromeda får en lengdeforkortelse i forhold til vårt referansesystem når hastigheten blir stor?

Hvis du ser det fra muonets ståsted så er det riktig, ja. Da blir jo effekten lengdekontraksjon.

Ser du det fra jordas ståsted blir det tidsdiletasjon.(som jeg forklarte i forrige post).

Det er jo to måter å se det på.

Takk skal du ha. Ikke lurt å lese dette på kveldstid, merker jeg .

Kan prøve å gi en nærmere forklaring hvis noe var uklart.

Trikset for å forstå spesiell relativitet er å legge fra seg den opparbeidede intuisjonen om at tid er et absolutt begrep. I relativitetsteorien vil identiske klokker tikke med ulik hastighet dersom de beveger seg relativt hverandre. Det betyr at tidsintervaller mellom hendelser (events) måles ulikt alt ettersom i hvilket referansesystem man måler.

Et muon beveger seg med konstant hastighet v vekk fra jorda. Vi betrakter dette som en bevegelse i én romdimensjon.

Det er to måter å betrakte situasjonen på:

1. Sett fra jorda

Vi har to identiske analoge klokker som er synkronisert idet muonet forlater jorda. En observatør befinner seg i ro på jorda. Vi definerer to hendelser: 1) Muonet oppstår og 2) muonet dør. Den klokka som følger muonet måler at tiden (tidsintervallet) mellom disse to hendelsene er 2,2 mikrosekunder.

Observatøren på jorda vil dog måle et annet tidsintervall mellom hendelsene.(altså en annen levetid). Årsaken er at fra hans ståsted vil klokka som beveger seg sammen med muonet tikke langsommere enn hans egen klokke. (tidsdiletasjon i spesiell relativitet). Det betyr at observatørens klokke vil tikke flere ganger enn klokka som følger muonet mellom de to hendelsene. Altså vil observatøren måle et tiden mellom hendelse 1 og 2 er lenger enn 2,2mikrosekunder. (hvor mye lenger avhenger av hastigheten til muonet)

Når hastigheten nærmer seg lysfarten vil denne effekten bli større og større (uendelig dersom hastigheten er lik lyshastigheten) og på den måten vil observatøren på jorda måle at levetida til muonet er mye større enn 2,2mikrosekunder.

Sett fra observatøren på jorda vil hele tiden avstanden til andromeda være den samme, men fordi levetida til muonet vil være så stor, vil muonet kunne leve lenge nok(mer enn 2,3mill år siden muonet beveger seg langsommere enn lyset (pga at muonet har masse)) til å tilbakelegge hele avstanden.

2) Sett fra muonet

Fra muonets ståsted (en observatør som er i ro i forhold til muonet) vil avstanden mellom jorda og andromeda kontrahere. Vi ser for oss en gigantisk linjal med lengde 2,3mill lysår. Beveger denne linjalen seg med tilstrekkelig stor hastighet vil effekten av lengdekontraksjonen bli stor nok til at hele linjalen (i lengderetningen) kan bevege seg forbi muonet på mindre enn eller lik 2,2 mikrosekunder.

Tusen takk for god og utfyllende forklaring, plutarco. Jeg kom frem til samme resonnementet i går etter at jeg la fra meg boken, men veldig fint å se at jeg har forstått det riktig!