matematikk.net

Hei

Dro på hytta for å forberede meg til S2 eksamen, men sitter fast på noe jeg har helt glemt hvordan man går løs på!

Oppgaven lyder:

Deriver funksjonen
f(x) = x^2 * lnx

Kunne noen forklart hvordan man går frem og forklare hvorfor man gjør hva?:P

Takker på forhånd!!

Produktregel!

[tex]f^,(x) = (x^2)^, \cdot lnx + x^2 \cdot (lnx)^,[/tex]

Tar du den nå?

Aleks855 wrote:Produktregel!

[tex]f^,(x) = (x^2)^, \cdot lnx + x^2 \cdot (lnx)^,[/tex]

Tar du den nå?

Jeg ser at det er den regelen man bruker, men jeg vet ikke HVORFOR jeg gjør det jeg gjør:P ?

Tja en mulig forklaring er ved bruk av logaritmer. Anta at vi har
[tex]f = uv[/tex], der både [tex]u[/tex] og [tex]v[/tex] er deriverbare funksjoner. Da kan vi ta logaritmen av begge sider og få

[tex]\ln(f) = \ln(uv) = \ln u + \ln v[/tex]

Deriverer vi begge sider vår vi

[tex]\frac{f^\prime}{f} = \frac{u^\prime}{u} + \frac{v^\prime}{v}[/tex]

Nå ganger vi begge sider med [tex]f[/tex], og bruker at [tex]f = uv[/tex], slik at vi får

[tex]f \cdot \left( \frac{f^\prime}{f} \right) \, = \, uv \cdot \left( \frac{u^\prime}{u} \right) + uv \cdot \left( \frac{v^\prime}{v} \right) [/tex]

[tex]f^{\tiny\prime} = v \cdot u^{\tiny\prime} + u \cdot v^{\tiny\prime}[/tex]

Som var det vi ønsket å vise. Dette er et noe uformelt bevis, og slik jeg har presentert det inneholder det noen små hull. Men disse er ikke spesielt vanskelig å tette. Og ja, det finnes mer formelle måter å vise dette på og, men det ville kanskje bare forvirre deg enda mer =)

Tusen takk for svar og fin forklaring Jeg skjønte det nå!!