matematikk.net

Båt A har parameterfremstillingen:

x=3t
y=2+4t

Båt B har parameterfremstillingen:
x=12
y=5t


Jeg har regnet ut at de ikke vil kollidere, men hvordan finner jeg da den minste avstanden mellom dem? Har søkt litt rundt her på forumet, men forstod ikke fremgangsmåten. Man skal visstnok finne et uttrykk for avstanden mellom de to med t som variabel, for så å derivere og finne et bunnpunkt.. Kan noen være så vennlig å vise meg hvordan man kommer frem til uttrykket? Takk

Avstanden mellom punktene er det samme som lengden av vektoren mellom dem. 1) Hva blir vektoren mellom punktene, altså [tex]\vec{AB}[/tex]? 2) Hva er lengden av [tex]\vec{AB}[/tex]? Jeg vil tippe på at du kan finne en vektor mellom to punkt og å finne lengden av en vektor. Det er ikke noe nytt her!

blir vektor AB=12-3t,t-2?

Stemmer det ja! Nå har du altså et uttrykk for vektoren mellom punktene. For hver t-verdi du setter inn vil du da få vektoren mellom punktene for det tidspunktet. Hva blir nå et uttrykk for lengden av vektoren?

har foreløpig fått at lengden av AB er lik kvadratroten av (10t^2-74t+148). Man kan jo ikke ta kvadratroten av 74t? hmm

Det er nesten riktig, men det skal bli [tex]|\vec{AB}| = \sqrt{10t^2 - 76t + 148}[/tex]. Du kan ikke gjøre så mye mer med å forenkle dette uttrykket. Men nå må vi huske på hva oppgaven spør om. Du skal finne ut når dette uttrykket er minst. Som (nesten) alltid involverer det å derivere. Men vi kan gjøre én lur ting for å spare oss arbeid. I stedet for å finne ut når [tex]|\vec{AB}|[/tex] er minst, så kan vi heller finne ut når [tex]|\vec{AB}|^2[/tex] er minst. Det må jo skje ved samme t-verdi, ikke sant? Fordelen med sistnevnte er at vi slipper kvadratroten.

Hva blir den deriverte av [tex]|\vec{AB}|^2[/tex]? Hva må den deriverte være i et ekstremalpunkt (topp eller bunnpunkt)?

Deriverte og fikk likningen:

20t-76=0
t=3,8

Putter jeg dette inn i {AB}=kvadratrot(10t^2 - 76t + 148) får jeg ikke det fasit sier.. Svaret skal være 1,9.

Takk for at du så gjennom utregningen min og oppdaget regnefeilen forresten

Det er riktig det. Jeg får [tex]|\vec{AB}| = 1.897 \approx 1.9[/tex] når jeg setter inn t = 3.8, så ta å se over utregningen din en gang til.

En liten kommentar: Du må huske å sjekke / argumentere for at t = 3.8 faktisk gir et bunnpunkt. Den deriverte er jo også 0 i topp-punktene! Her har vi at 20t-76 er negativ for t < 3.8 og positiv for t > 3.8. Den deriverte skifter fra å være negativ til å bli positiv, som betyr at vi må ha med et bunnpunkt å gjøre (avstanden avtar før og stiger etterpå.)

jeg skjønner! Takk skal du ha!