matematikk.net

Jeg kom over en oppgave i 'Test deg selv' i Sigma R2 som lyder slik:

CT er diameter i en sirkel med radius 2. Trekanten ABC, der AC = BC, er innskrevet i sirkelen. Vinkelen mellom CT og CA kaller vi x. CD står vinkelrett på AB, og vinkel CAT = 90 grader.
Se figuren:

(Nå får vi se hvor god jeg er i Paint. :p)



a) Vis at [tex]AC = 4\cos x[/tex].

b) Finn AB og CD uttrykt ved x.

c) Vis at arealet av A(x) av trekanten kan skrives [tex]A(x) = 16\cos^3x sqrt{1-\cos^2x}[/tex].
Sett [tex]u = \cos x[/tex] og finn A[sub]maks[/sub] ved derivasjon.
Hvor stor er x da?

Her er mine utregninger:

a) [tex]\cos x = \frac{AC}{CT}[/tex]

[tex]AC = CT\cos x[/tex]

[tex]\underline{\underline{AC = 4\cos x \qquad , \qquad \text{Q.E.D.!}}}[/tex]


b) Vet at [tex]AD = \frac{1}{2}AB[/tex].

[tex]\sin x = \frac{AD}{AC}[/tex]

[tex]AD = AC\sin x[/tex]

[tex]AB = 2AC\sin x[/tex]

[tex]AB = 8\cos x\sin x = \underline{\underline{4\sin 2x}}[/tex]

[tex]\cos x = \frac{CD}{AC}[/tex]

[tex]CD = AC\cos x[/tex]

[tex]\underline{\underline{CD = 4\cos^2x}}[/tex]


c) [tex]A(x) = \frac{AB \cdot CD}{2}[/tex]

[tex]A(x) = \frac{8\cos x\sin x \cdot 4\cos^2x}{2}[/tex]

[tex]A(x) = 16\cos^3x\sin x[/tex]

[tex]\underline{\underline{A(x) = 16\cos^3x \sqrt{1-\cos^2x} \qquad , \qquad \text{Q.E.D.!}}}[/tex]

[tex]\cos x = u[/tex]

[tex]A(u) = 16u^3 sqrt{1 - u^2} = 16u^3(1 - u^2)^{\frac{1}{2}}[/tex]

[tex]A^\prime(u) = 16\left(3u^2(1 - u^2)^{\frac{1}{2}} + u^3 \cdot \frac{1}{2}(1-u^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2u) \right)[/tex]

[tex]= 16\left(3u^2 \sqrt{1 - u^2} + u^3 \cdot \frac{1}{2 sqrt{1 - u^2}} \cdot (-2u) \right)[/tex]

[tex]= 16\left(3u^2 \sqrt{1 - u^2} - \frac{u^4}{\sqrt{1 - u^2}} \right)[/tex]

[tex]= 16\left(\frac{3u^2 \sqrt{1 - u^2}^2 - u^4}{\sqrt{1 - u^2}} \right)[/tex]

[tex]= 16\left(\frac{3u^2 - 3u^4 - u^4}{\sqrt{1 - u^2}} \right)[/tex]

[tex]= \underline{16\left(\frac{3u^2 - 4u^4}{\sqrt{1 - u^2}} \right)}[/tex]


Setter [tex]A^\prime(u) = 0[/tex]


[tex]16\left(\frac{3u^2 - 4u^4}{\sqrt{1 - u^2}} \right) = 0[/tex]

[tex]3u^2 - 4u^4 = 0[/tex]

[tex]u^2(3 - 4u^2) = 0[/tex]

[tex]u^2 = 0 \qquad \mathrm{v} \qquad 3 - 4u^2 = 0[/tex]

[tex]u = 0 \qquad \mathrm{v} \qquad u = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

Så langt har jeg kommet foreløpig. Så ser jeg at løsningsforslaget bak i boka kommer med dette:

Siden [tex]2x \in \left<0, 180 \right>[/tex], har vi [tex]x \in \left<0, 90 \right>[/tex]. Derfor må [tex]\cos x = u \in \left<0, 1 \right>[/tex].

Etter dette kommer resten av utregninga, og det er selvsagt ikke noe problem. Jeg skjønner at dette resonnementet blir brukt til å utelukke to av tre løsninger, men jeg skjønner ikke hvorfor de drar in 2x, eller hvor de får det fra. Jeg spurte læreren min om dette, men han var ikke sikker han heller. Han sa han skulle gjøre oppgaven til neste gang, slik at han kan sette seg bedre inn i det, men takket være lesedager og eksamener, er ikke neste gang før om en uke, og så utålmodig som jeg er, greier jeg langt ifra å vente så lenge.

Vinkelen 2x, altså vinkel ACB kan umulig bli større enn 180 grader. Da måtte jo siden AB vært ovenfor punktet C, men AB er jo begrenset til å være innenfor sirkelen.

Edit: for å presisere litt: Når x = 0 og x = 90 (grader) forsvinner trekant ACB, ikke sant? Da er det ikke noe areal å snakke om, og disse vinklene er hvertfall ikke maksimumskandidater. Når x er større eller mindre enn 0 eller større enn 90 (dvs. ACB < 0 eller ACB > 180) eksisterer heller ikke trekant ACB, som nevnt.

Vektormannen wrote:Vinkelen 2x, altså vinkel ACB kan umulig bli større enn 180 grader.

Det er jeg for så vidt enig i. Om 2x hadde vært 180 grader, hadde det ikke vært noen trekant lenger. Men kan en gå fra [tex]x \in \left<0, 180 \right>[/tex] til [tex]x \in \left<0, 90 \right>[/tex] som om en deler begge verdiene i hver sin ende av intervallet med 2-tallet foran x-en? Det virker litt rart. Eller kan en bare si det ut ifra figuren?

Da måtte jo siden AB vært ovenfor punktet C, men AB er jo begrenset til å være innenfor sirkelen.

Jeg tenkte ikke over at trekanten må være innenfor sirkelen når det står 'innskrevet'.

Edit: for å presisere litt: Når x = 0 og x = 90 (grader) forsvinner trekant ACB, ikke sant? Da er det ikke noe areal å snakke om, og disse vinklene er hvertfall ikke maksimumskandidater. Når x er større eller mindre enn 0 eller større enn 90 (dvs. ACB < 0 eller ACB > 180) eksisterer heller ikke trekant ACB, som nevnt.

Ja, enig. Men du mener vel at x er mindre enn 0 og ikke større eller mindre?

Ja, sorry slurvet litt der. Mente at x er mindre enn 0.

Når det gjelder intervallene så er det slik at hvis [tex]2x \in \langle 0, 180 \rangle[/tex] så må [tex]x \in \langle 0, 90 \rangle[/tex]. Tenk litt over hva det betyr å være med i et intervall. At 2x er med i intervallet fra 0 til 180 betyr at x har en verdi mellom 0 og 180. Må ikke x da ha en verdi mellom 0 og 90? Hvis 2x > 0 er også x > 0. Hvis 2x < 180 så er også x < 180/2 = 90.

edit: ryddet opp litt

Vektormannen wrote:[...] betyr at x har en verdi mellom 0 og 180.

Antar du mener 2x her?

Må ikke x da ha en verdi mellom 0 og 90? Hvis 2x > 0 er også x > 0. Hvis 2x < 180 så er også x < 180/2 = 90.

Nettopp, her deler du. Jeg skjønner at hvis [tex]2x \in \langle 0, 180 \rangle[/tex], så må [tex]x \in \langle 0, 90 \rangle[/tex], men jeg bare lurte på om en kunne dele på den måten. Takk for hjelpen!

Mente 2x ja, mye slurv i dag...

Men ja, du kan altså dele på 2. Det er umulig at en ting er mellom 0 og 90, og så er det dobbelte av tingen plutselig mindre enn 0 eller større enn 180.

Nettopp, da er vi enige.