Konvergerer rekken

[tom_bredde]

Hei, kan noen hjelpe meg.

Jeg skal undersøke om rekken konvergerer:
1.

[symbol:sum] [sub]n=1[/sub][sup] [symbol:uendelig] [/sup]lnn/e^n

2.
[symbol:sum] [sub]n=1[/sub][sup] [symbol:uendelig] [/sup]cosx/n^2, der x E[ [symbol:pi] /2, [symbol:pi] /2]

løsningsforslag tas i mot med stor takk

[espen180]

Hei og velkommen til forumet.

Hva langt har du kommet? Hvor står du fast?

[Nebuchadnezzar]

Hei, og velkommen til forumet =)
Latex øker lesbarheten eksponentielt

http://i.imgur.com/UWnxf.png

http://www.diskusjon.no/index.php?showtopic=1080165

Trykk sìter for å se hvordan uttrykkene ble laget =)

[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{e^n}[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(x)}{n^2}[/tex]

Har du prøvd noe selv ?

På den siste kan du trekke ut [tex]\cos (x) [/tex]og da står du igjen med

[tex]S \, = \, \cos (x) \sum_1^\infty \frac{1}{n^2} \, = \, \frac{\pi^2}{6}\cos (x)[/tex], og på den første anbefaler jeg deg å bruke grensesammenlikning eg sjekk om

[tex]\lim_{n \to \infty} \, \left| \frac{a_{n+1}}{\,a_n\,} \right| \, < \,1[/tex]

[tom_bredde]

kan jeg si at:

-1<cosx<1

derfor

-1/n^2<cosx/n^2<1/n^2

setter inn [symbol:uendelig] for n

-1/n^2=0=cosx/n^2=0=1/n^2=0

rekken må være 0 og konvergere

riktig??

[tom_bredde]

på den første, blir det:

ln (n+1)/ln n som igjen er [symbol:uendelig] / [symbol:uendelig] =0

[Nebuchadnezzar]

Du tar nok feil på den første, prøv igjen =)

Siden [tex]\cos x[/tex] ikke har noe å gjøre med [tex]n[/tex], så spiller den ikke noen rolle for om rekken konvergerer eller ei.

[tom_bredde]

tror jeg trenger noen flere hint her.

[Nebuchadnezzar]

Som jeg skrev så bommer du litt med algebraen, for det første så er

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} = 1[/tex]. Siden [tex]a_n = \frac{\ln n}{e^n}[/tex], så er

[tex]L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{\ln(n+1)}{e^n+1}}{\frac{\ln n}{e^n}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1}{e} \cdot \frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right| = \frac{1}{e}[/tex]

Siden [tex]L < 1[/tex] så konvergerer rekken.

[tom_bredde]

tror jeg trenger noen flere hint her.

[tom_bredde]

Takk!!

Men hvorfor får du [symbol:pi] /6 cosx?

[Karl_Erik]

[tex]\frac \pi 6[/tex] får han fordi han vet at [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {n^2} = \frac \pi 6[/tex]. Det er ikke så veldig lett å regne ut denne, og sannsynligvis er det ikke pensum helt ennå. Er du interessert kan du lese på Wikipedia. Det som nok er pensum er at [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {n^T}[/tex] divergerer når [tex]T \leq 1[/tex], og konvergerer når [tex]T>1[/tex], og det er lurt å huske på - [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {n}[/tex] divergerer 'bare så vidt'.