matematikk.net

Bruk definisjonen til den deriverte for å vise at f(x)=2x^2-5 = f'(x)=4x

I forklaringen må dere gjerne skrive Δx istedenfor h slik at jeg lettere kan forstå det når jeg skal skrive det på ark. Har eksamen i morgen skjønner dere

Definisjonen av den deriverte er gitt ved

[tex]f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}[/tex]

Om en setter inn [tex]f(x)=2x^2 - 5[/tex], får en dette:

[tex]f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2(x + \Delta x)^2 - 5 - (2x^2 - 5)}{\Delta x}[/tex]

[tex]f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2(x^2 + 2x\Delta x + \Delta x^2) - 5 - 2x^2 + 5}{\Delta x}[/tex]

[tex]f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cancel{2x^2} + 4x\Delta x + 2\Delta x^2 \cancel{- 5} \cancel{- 2x^2} \cancel{+ 5}}{\Delta x}[/tex]

[tex]f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{4x\Delta x + 2\Delta x^2}{\Delta x}[/tex]

[tex]f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cancel{\Delta x}(4x + 2\Delta x)}{\cancel{\Delta x}}[/tex]

[tex]f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0} 4x + 2\Delta x[/tex]

Når [tex]\Delta x[/tex] går mot 0, går også [tex]2\Delta x[/tex] mot 0.

[tex]f^\prime(x) = 4x + 2\cdot 0[/tex]

[tex]\underline{\underline{f^\prime(x) = 4x \qquad , \qquad \text{Q.E.D.!}}}[/tex]