matematikk.net

Får til de enkle oppgaven men stopper når ting blir mer komplisert.

a) [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\pi^n - n^\pi}[/tex]

Siden [tex]k^x[/tex] vokser raskere enn [tex]x^k[/tex], for alle [tex]k>1[/tex] så er [tex]k^x \geq n^2[/tex] så [tex]\pi^n \geq n^2[/tex], og siden [tex]1/n^2[/tex] konvergerer så konvergerer og rekka. men jeg dette holder da ikke. Da [tex]\frac{1}{\pi^n - n^\pi} > \frac{1}{\pi^n}[/tex]. Hvordan viser jeg formelt at denne rekka konvergerer?

b) [tex]\sum_{n=4}^\infty \frac{2^n}{3^n - n^2}[/tex]

Mye det samme problemet som før, prøvde litt sammenlikninger her og men alas fikk ikke til noe. Antar om jeg får til a) vil jeg og få til b)

c) [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1 + n!}{(1+n)!}[/tex]

Her tenkte jeg å dele på n! tvers gjennom slik at jeg får [tex]a_n = \frac{1+ 1/n!}{1+n}[/tex], herfra sammenlikner jeg med [tex]b_n = 1/(n+1)[/tex] som divergerer, dermed divergerer også rekka vår, stemmer dette?

På den første kan du vel vise at [tex]L=\lim_{n\to\infty}|a_{n+1}/a_n| = 1/\pi[/tex], og siden [tex]L<1[/tex] vil summen konvergere absolutt.

På den andre kan du bruke samme metode og vise at [tex]L=2/3[/tex], og komme til samme konklusjon.

For den siste blir [tex]L=1[/tex], så da må du bruke en annen metode for å avgjøre hva som blir riktig.

På a) hvordan viser jeg den grenseverdien da ?, følte det ble fryktelig komplisert å drive å trikse med [tex]a_{n+1}/a_n[/tex] ...

Igjen på b) hvordan i svarte amøbefabrikk skal jeg vise at [tex]\lim_{n\to \infty} \left| a_{n+1}/a_n \right| [/tex] ? Ender opp med et algebramareritt fra en annen planet.

Mener jeg klarte å vise den siste =)

[tex]\frac{1 + n!}{(1+n)!} \, > \, \frac{n!}{(n+1)!} \, = \, \frac{1}{n+1}[/tex] som divergerer.

[tex]\lim_{n\to\infty}\left|a_{n+1}/a_n\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\pi^n-n^{\pi}}{\pi^{n+1}-(n+1)^{\pi}}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{1-n^{\pi}/\pi^n}{\pi-(n+1)^{\pi}/\pi^n}\right|=1/\pi[/tex]

Siste overgangen pga pi^n vokser raskere enn n^pi, og dermed vil de leddene det gjelder gå mot null.

Det samme med den andre rekken.