matematikk.net

Oppgaven:


Jeg har punktene A(2,1) og B(8,3).

Bestem koordinatene til et punkt C slik at avstanden fra C til den rette linja gjennom A og B er 2 og vektor AC og vektor BC er ortogonale.

Jeg har kommet frem til at punkt A og B må være periferipunkt. (1/2)VektorAB er sentrum S i sirkelen. Punkt C må ligge på sirkelen for at AC og BC skal være vinkelrette. Hvordan finner jeg ut hvilke C-verdier som stemmer? Er det ikke uendelig mange??

Det skulle vel bli fire punkter? På grunn kravet om at avstanden fra C til linja gjennom AB er 2.

I fasiten er det også fire punkter. Hvordan finner man disse?

Hvis du kan finne en vektor [tex]\vec{v}[/tex] som står vinkelrett på [tex]\vec{AB}[/tex] (tenk skalarprodukt -- kan du tenke deg en vektor du kan prikke [tex]\vec{AB}[/tex] med og få 0?), så kan du uttrykke [tex]\vec{AC}[/tex] slik:

[tex]\vec{AC} = t \vec{AB} \pm 2 \cdot \frac{1}{|\vec{v}|} \vec{v}[/tex]

Altså, for å gå fra A til C, så kan vi først gå en ukjent lengde t langs [tex]\vec{AB}[/tex], og så en avstand 2 vinkelrett ut fra [tex]\vec{AB}[/tex] (den ene eller andre veien, derfor pluss og minus). Er du med på dette? Kan du finne et tilsvarende uttrykk for [tex]\vec{BC}[/tex]? Da kan du benytte deg av at AC og BC skal være vinkelrette til å finne en ligning, hvor du da bare vil få t som ukjent.

Alternativ: En alternativ måte å gå frem på er å tenke på en sirkel, som du gjør i forrige post. Du kan legge sirkelen inn i et koordinatsystem (nå bryr vi oss ikke om koordinatene til A og B), der sirkelen har sentrum i origo og samme radius som den virkelige sirkelen med A og B som diameter. Hvis du finner sirkelligningen til denne og benytter at [tex]y = \pm 2[/tex] (kravet om at C skal ligge i en avstand 2 fra AB), får du en ligning som kun har x som ukjent. Er du enig i at x-verdiene du da finner vil være lik parameterverdien t i fremgangsmåten ovenfor?