matematikk.net

Deriver g(x)=ln(1/(1-x))

Her prøvde jeg først å gjøre om til (1/(1/(1-x)))', for så å derivere videre, men fikk feil svar. Fasiten sier (1/(1-x)). Hjelp?

Takk for svar

[tex]\ln(\frac{1}{1-x}) = \ln1 - \ln(1-x)[/tex]

Nå kan du derivere hvert ledd for seg. Tar du den nå?

Det var lurt!

Jeg ender opp med 1/((1-x)*x) etter at jeg har utvidet de to leddene til fellesnever (1-x)x....

Du trenger ikke utvide mer nå.

Vi vet at for å derivere [tex]g(x) = \ln1 - \ln(1-x)[/tex] så kan vi derivere leddene hver for seg.

[tex]\ln1 = 0[/tex] og den deriverte at null er null.

[tex](-\ln(1-x))^, = \frac{1}{1-x}[/tex]

aha, nå skjønte jeg det! Tusen takk

For kompletthet

[tex]f(x) \, = \, \log\left( \frac{1}{1 - x}\right) [/tex]

Vi husker at [tex]\Bigl( \log \bigl[ g(x) \bigr] \Bigr)^\prime = \frac{g^\prime(x)}{g(x)}[/tex]

slik at

[tex]f^\prime(x) \, = \, \frac{\left( \frac{1}{1 - x} \right)^\prime }{\frac{1}{1 - x}}[/tex] Videre er [tex]\left( \frac{1}{1 - x} \right)^\prime = \frac{1}{(1-x)^2} [/tex] Så vi får endelig at

[tex]f^\prime(x) \, = \, \frac{\left( \frac{1}{1 - x} \right)^\prime }{\frac{1}{1 - x}} \, = \, \frac{\frac{1}{(1-x)^2}}{\frac{1}{1-x}} = \frac{1}{1-x} \, = \, - \frac{1}{x-1}[/tex]

som ønsket.

Lure omforminger er alltid bra, og selv ville jeg gjort det som alex`s sa.
dog er det ikke alltid dette fungerer, og da må en kunne derivasjonsreglene sine på rams. Eksempelvis

[tex]s(t) = \log\left( x + \sqrt{ a^2 + x^2 \right) [/tex] og [tex] r(t) = \sqrt{ x + \sqrt{x^2 + 1}[/tex]

Den derivasjonsregelen der var ny! Takk for forklaring

Nå må du huske at den derivasjonsregelen der er bare kjerneregelen, som du sannsynligvis allerede kan Den er bare skrevet på en litt annen måte, spesialisert for logaritmer.