matematikk.net

Lurer litt på denne oppgaven

----------------------------

Hvis rekken [tex] \sum_{n=1}^\infty a_n [/tex] konvergerer absolutt, hva kan du si om konvergens av rekken [tex] \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \right)^2 [/tex] ?

---------------------------

Her er jeg litt usikker på hvordan jeg skal ordlegge meg.
Antar en egentlig skal bruke epsilon delta bevis, men vil følgende
argument være gyldig ?

[tex](a_n)^2[/tex] er en positiv rekke, og dermed ikke alternerende.

Vi vet at [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] konvergerer, dette betyr at det før eller siden finnes en [tex]m[/tex] slik at [tex]a_m < 1[/tex]. Da vil [tex](a_m)^2 < a_m[/tex]. Så siden [tex](a_n)^2[/tex] raskere enn [tex]a_n[/tex] når [tex]n>m[/tex] og [tex]a_n[/tex] konvergerer vil følgelig og [tex](a_n)^2[/tex] konvergere.

Argumentet er essensielt korrekt. Mer presist:

Det finnes en endelig [tex]N\geq 1[/tex] slik at for alle [tex]n\geq N[/tex], er [tex]a_n^2\leq |a_n|[/tex], mao. [tex]|a_n|\leq 1[/tex].

Vi har [tex]\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2=S_{N-1} + \sum_{n=N}^{\infty}a_n^2[/tex]. Vi må evaluere disse separat. Det første leddet er endelig fordi hver [tex]a_n[/tex] er endelig og [tex]S_{N-1}[/tex] er en endelig sum. For det andre leddet har vi [tex]\sum_{n=N}^{\infty} a_n^2 \leq \sum_{n=N}^{\infty} |a_n| < \infty[/tex], så også det er endelig. Følgelig konvergerer [tex]\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2[/tex].