matematikk.net

I [tex]\triangle ABC[/tex] på figuren er [tex]Ab=5[/tex], [tex]AC=8[/tex] og [tex]\angle A=60^{\circ}[/tex]. Vi setter [tex]\vec{a}=\vec{AB}[/tex] og [tex]\vec{b}=\vec{AC}[/tex].

Punktet E er gitt ved at [tex]\vec{CE} = t \cdot \vec{a}[/tex]. Videre er M midtpunktet på BC. Bestem t slik at A, M og E ligger på linje.

Her må vel [tex]\vec{AM}=t\cdot \vec{AE}[/tex] for at punktene skal ligge på linje. Problemet er at det allerede er en t i [tex]\vec{AE}[/tex]. Hvordan løser jeg denne oppgaven?

Du tenker nesten helt riktig. Men den t-en du nevner til slutt der er ikke den samme variabelen som den som er i definisjonen av [tex]\vec{CE}[/tex], ikke sant? Du må kalle den variabelen noe annet, f.eks. s. Da har du:

[tex]\vec{AM} = s \cdot \vec{AE}[/tex]

Hvis du nå kan finne et uttrykk for [tex]\vec{AM}[/tex] uttrykt ved [tex]\vec{a}[/tex] og [tex]\vec{b}[/tex], og et uttrykk for [tex]\vec{AE}[/tex] uttrykt ved [tex]\vec{a}[/tex], [tex]\vec{b}[/tex] og t, så er du nok snart i mål.

(Du kan også tenke geometrisk her. Hint: Tenk på BC som en diagonal.)

Takk for svar! Da har jeg følgende:

[tex]\vec{CE}=t \cdot \vec{a}[/tex]

[tex]\vec{AE}=\vec{b}+t \cdot \vec{a}[/tex]

[tex]\vec{AM}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}[/tex]

[tex]\vec{AM}=s \cdot \vec{AE}[/tex]

Som gir:

[tex]\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b} = s \cdot \vec{b} + s \cdot t \cdot \vec{a}[/tex]

[tex]\frac{1}{2}\vec{a}=s\cdot t \cdot \vec{a} \ \wedge \ \frac{1}{2}\vec{b}=s\cdot \vec{b}[/tex]

[tex]t=\frac{1}{2s} \ \wedge \ s=\frac{1}{2}[/tex]

Setter inn verdien for s i den første ligningen:

[tex]t=\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}}=1[/tex]

Det stemmer med fasiten

Flott!

(Geometrisk ser vi at siden AB og CE er parallelle og AM og AE skal være parallelle, må AM og MC være like lange. Men da er AE og BC diagonaler i et parallellogram, så da må CE være like lang som AB, altså er t = 1.)

Det er litt rart at det er oppgitt lengder og vinkler i denne oppgaven, siden de ikke blir brukt uansett. Er det kanskje flere deloppgaver?

Takk skal du ha! Den geometriske forklaringen er jo så innlysende når jeg ser den at jeg skammer meg for at jeg i det hele tatt sjekket fasiten.

Det var flere deloppgaver, men de var nokså rett frem. Tenkte ikke på at for mye info bare forvirrer da jeg lagde figuren.