matematikk.net

1)
Det fins to tall x og y slik at

[tex]\vec{SR}=x \cdot \left(-\frac{1}{2}\vec{u}+\vec{v}\right)[/tex]

[tex]\vec{SR}=y \cdot \left(-\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}\right) + \frac{1}{2} \vec{v}[/tex]

2)
Vis at dette gir ligningssettet

[tex]\frac{1}{2}x=y[/tex]

[tex]x=\frac{1}{2}y+ \frac{1}{2}[/tex]

Kan noen vise meg hvordan man kommer frem til ligningssettet i 2)?

[tex]-0,5x\vec u + x\vec v=-y\vec u+0,5y\vec v +0,5 \vec v[/tex]
dvs
[tex]\vec u\left(y -0,5x\right)=0[/tex]
og
[tex]\vec v\left(0,5y+0,5-x\right)=0[/tex]
altså
[tex]y =0,5x[/tex]
og
[tex]0,5y+0,5=x[/tex]

Takk for svar! Dessverre er det åpenbart noe grunnleggende jeg ikke skjønner.

Jeg er med på [tex]-0,5x\vec u + x\vec v=-y\vec u+0,5y\vec v +0,5 \vec v[/tex]

Men jeg skjønner ikke hvorfor det følger av dette at

[tex]\vec u\left(y -0,5x\right)=0[/tex]
og
[tex]\vec v\left(0,5y+0,5-x\right)=0[/tex]

Jeg er med til hit:
[tex]-0,5x\vec{u}+y\vec{u}+x\vec{v}-0,5y\vec{v}+0,5\vec{v}=0 \\ \vec{u}(y-0,5x)+\vec{v}(x-0,5y+0,5)=0[/tex]

Her er summen lik 0. Hvordan går man derfra til at hvert ledd også er lik 0?

Hvis [tex]\vec{SR}[/tex] kun kan skrives som en lineærkombinasjon av [tex]\vec{u}[/tex] og [tex]\vec{v}[/tex] på én måte, må koeffisienten foran [tex]\vec{u}[/tex] være den samme i alle slike uttrykk; tilsvarende for [tex]\vec{v}[/tex]. Her har vi to uttrykk for [tex]\vec{SR}[/tex] som begge er ved [tex]\vec{u}[/tex] og [tex]\vec{v}[/tex]. Likningssettet framkommer av at man setter likhetstegn mellom de respektive koeffisientene.

[tex]\vec{SR}=x \left(-\frac{1}{2}\vec{u}+\vec{v}\right) = -\frac{1}{2} x \vec{u} + x \vec{v}[/tex]

[tex]\vec{SR}=y \left(-\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}\right) + \frac{1}{2} \vec{v} = -y \vec{u} + \left( \frac{1}{2}y + \frac{1}{2} \right) \vec{v}[/tex]

Egentlig må man her også forutsette at vektorene [tex]\vec{u}[/tex] og [tex]\vec{v}[/tex] begge er ulik 0 og ikke parallelle (eller ekvivalent at u og v er lineært uavhengige). Dette burde vært poengtert i oppgaveteksten.

At u og v er lineært uavhengige vektorer betyr at dersom au+bv=0, så følger det at a=b=0, der a og b er konstanter.