Newtons metode - feilestimering
Posted: 08/08-2012 16:04
Hei.
Jeg har støtt på en oppgave som forklares ved en bestemt metode, men når jeg forsøker å løse dette i tråd med det læreboken skriver, får jeg litt annet svar. Setter pris på om noen kan forklare hvorfor svarene ikke stemmer overens.
Gitt funksjonen:
[tex]f(x) = \frac{1}{x} - N[/tex]
Der [tex]N[/tex] er et positivt tall.
Gjennom Newtods metode gir dette iterasjonen:
[tex]x_{i+1} = x_{i}(2 - N \cdot x_i), i = 0,1,...[/tex]
Sett absoluttfeilen [tex]e_i = x_i - \frac{1}{N}[/tex] og vis at:
[tex]e_{i+1} = -Ne_{i}^2, i \geq 0[/tex]
Eksempelet jeg støtter på bruker så følgende fremgangsmåte for feilestimering:
Med [tex]e_i = x_i - \frac{1}{N}[/tex] får vi [tex]x_i = e_i + \frac{1}{N}[/tex] som innsatt gir:
[tex]e_{i+1} + \frac{1}{N} = (e_i + \frac{1}{N})(2 - N(e_i + \frac{1}{n})) = (e_i + \frac{1}{N})(1 - N \cdot e_i) = \frac{1}{N} - Ne_{i}^2[/tex]
slik at vi finner:
[tex]e_{i+1} = -Ne_{i}^2, i \geq 0[/tex]
OK, så jeg forstår denne fremgangsmåten helt fint, men i boken står det at for å beregne [tex]e_{i+1}[/tex] kan vi bruke:
[tex]e_{i+1} \approx - \frac{f^{\prime \prime}(r)}{2f^{\prime}(r)}e_{i}^2[/tex]
Med det gitte uttrykket for [tex]f(x)[/tex] har vi:
[tex]f^{\prime}(x) = -\frac{1}{x^2}[/tex]
[tex]f^{\prime \prime}(x) = \frac{2}{x^3}[/tex]
Ettersom roten er [tex]x = \frac{1}{N}[/tex] får jeg da:
[tex]e_{i+1} \approx - \frac{1}{2} (\frac{\frac{2}{x^3}}{-\frac{1}{x^2}})e_{i}^2[/tex]
[tex]= -\frac{1}{2}(-\frac{2}{x})e_{i}^2[/tex]
[tex]= -\frac{1}{2}(-\frac{2}{\frac{1}{N}})e_{i}^2[/tex]
[tex]= Ne_{i}^2[/tex]
Altså får jeg samme svar, men med motsatt fortegn. Er det noe jeg gjør galt her? Setter stor pris på om noen kan forklare dette for meg!
Jeg har støtt på en oppgave som forklares ved en bestemt metode, men når jeg forsøker å løse dette i tråd med det læreboken skriver, får jeg litt annet svar. Setter pris på om noen kan forklare hvorfor svarene ikke stemmer overens.
Gitt funksjonen:
[tex]f(x) = \frac{1}{x} - N[/tex]
Der [tex]N[/tex] er et positivt tall.
Gjennom Newtods metode gir dette iterasjonen:
[tex]x_{i+1} = x_{i}(2 - N \cdot x_i), i = 0,1,...[/tex]
Sett absoluttfeilen [tex]e_i = x_i - \frac{1}{N}[/tex] og vis at:
[tex]e_{i+1} = -Ne_{i}^2, i \geq 0[/tex]
Eksempelet jeg støtter på bruker så følgende fremgangsmåte for feilestimering:
Med [tex]e_i = x_i - \frac{1}{N}[/tex] får vi [tex]x_i = e_i + \frac{1}{N}[/tex] som innsatt gir:
[tex]e_{i+1} + \frac{1}{N} = (e_i + \frac{1}{N})(2 - N(e_i + \frac{1}{n})) = (e_i + \frac{1}{N})(1 - N \cdot e_i) = \frac{1}{N} - Ne_{i}^2[/tex]
slik at vi finner:
[tex]e_{i+1} = -Ne_{i}^2, i \geq 0[/tex]
OK, så jeg forstår denne fremgangsmåten helt fint, men i boken står det at for å beregne [tex]e_{i+1}[/tex] kan vi bruke:
[tex]e_{i+1} \approx - \frac{f^{\prime \prime}(r)}{2f^{\prime}(r)}e_{i}^2[/tex]
Med det gitte uttrykket for [tex]f(x)[/tex] har vi:
[tex]f^{\prime}(x) = -\frac{1}{x^2}[/tex]
[tex]f^{\prime \prime}(x) = \frac{2}{x^3}[/tex]
Ettersom roten er [tex]x = \frac{1}{N}[/tex] får jeg da:
[tex]e_{i+1} \approx - \frac{1}{2} (\frac{\frac{2}{x^3}}{-\frac{1}{x^2}})e_{i}^2[/tex]
[tex]= -\frac{1}{2}(-\frac{2}{x})e_{i}^2[/tex]
[tex]= -\frac{1}{2}(-\frac{2}{\frac{1}{N}})e_{i}^2[/tex]
[tex]= Ne_{i}^2[/tex]
Altså får jeg samme svar, men med motsatt fortegn. Er det noe jeg gjør galt her? Setter stor pris på om noen kan forklare dette for meg!