matematikk.net

Holder på å sette meg inn i Euler-Lagrange teorien. I den anledning har jeg sett på brakistokronproblemet. Langt om lenge oppnås denne 1. ordens ikke-lineære ODE.

[tex]\frac{x^,(y)}{\sqrt{1+(x^,(y))^2}}\cdot \,\frac{1}{\sqrt y}=C\,\,\,\,(*)[/tex]

som gir løsningen:

[tex]x(t)=\frac{1}{2C^2}(t\,-\,\sin(t))+C_2,\,\,\,\,y(t)=\frac{1}{2C^2}(1\,-\,\cos(t))\,\,\,\,\,(**)[/tex]

der C og C_2 er konstanter. Den parametriserte kurva beskriver forresten sykloidekurven.

Noen som har snøring på overgangen fra (*) til (**)?

Den ligningen din * ser ikke riktig ut. Sammenlign med ligning 11 her http://mathworld.wolfram.com/Brachistoc ... oblem.html

For å finne akkurat den parametriseringen må man vel nesten bare vite/tippe hva det skal bli. Parametriserer du [tex]y=y(\theta)=K(1-\cos(\theta))[/tex] kan du lett finne ut hva [tex]x=x(\theta)[/tex] blir fra ligningen [tex]dx=\frac{\frac{dy}{d\theta}d\theta}{y^,(x)}[/tex]