matematikk.net

Fikk et tips (av Nebu) om å bruke Taylor-utviklinger av kjipe funksjoner når de eksempelvis skal evalueres med bestemte integral og slikt.

Har lært hva en Taylor-rekke er, og hvordan man regner den ut, men det jeg ikke har funnet ut er hvordan man vet hvor mange ledd man skal bruke for å få konvergens på et visst intervall.

Eksempelvis, hvis vi har integralet [tex]I=\int_0^1 \sin (\ln x ))dx[/tex]...

Hvilken x-verdi lønner det seg å utvikle rekka fra? 0, 1, eller kanskje 0.5?

Og når vet jeg at jeg har nok ledd til at jeg har konvergens på intervallet [tex]x\in [0, \ 1][/tex], slik at integralet av Taylor-rekka blir likt integralet av den opprinnelige funksjonen?

Generelt vil uniform konvergens være tilstrekkelig for å kunne bytte om integralet og en uendelig sum. (dog er dette ikke en nødvendig betingelse).

(for en mer avansert versjon, se http://en.wikipedia.org/wiki/Fubini_theorem)

Det du gjør er formelt sett å benytte alle leddene i Taylorrekka. Om du utvikler om x=0 må du forsikre deg om at konvergensintervallet dekker hele integrasjonsområdet. Det spiller for øvrig ingen rolle hvilken x-verdi du rekkeutvikler etter sålenge konvergensradien om punktet dekker integrasjonsområdet.

Er konvergensradien noe man kan regne ut for hånd?

Ja, men når det gjelder taylorrekka til sinusfunksjonen er konvergensradien uendelig, så du trenger ikke bry deg så mye om den her. http://www.wolframalpha.com/input/?i=ta ... ries+sin+x

Bruk at [tex]\int_a^b\sum_{0}^\infty a_n(x)\,dx=\sum_{0}^\infty \int_a^ba_n(x)\,dx[/tex], der den uendelige summen er Taylorutviklinga, og se hva du får. Du må altså identifisere den nye summen på høyresida etter at du har integrert hvert ledd i rekka.