matematikk.net

Foreleser skrev opp følgende spennende og nyskapende integral på tablen, som ingen hadde noensinne sett før

[tex]\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \,\mathrm{d}x[/tex]

For å beregne integralet innførte han følgende hjelpefunksjon

[tex]f(t) \, = \, \int_0^\infty \frac{\sin(xt)}{x} \,\mathrm{d}x[/tex]

Forså å ta laplacetranformasjonen av [tex]f[/tex], som følger.

[tex]\mathcal{L}\bigl(f(t)\bigr) \,= \int_0^\infty e^{-st} \int_0^\infty \frac{\sin(xt)}{x} \,\mathrm{d}x \, \mathrm{d}t [/tex]

Bytter en så om på grensene og fortsetter, får vi

[tex]\mathcal{L}\bigl(f(t)\bigr) \,= \int_0^\infty \frac{1}{x} \int_0^\infty \sin(xt) \cdot e^{-st} \,\mathrm{d}t \, \mathrm{d}x[/tex]

Hvor innerste integral, bare er laplacetransofmasjonen til [tex]\sin(xt)[/tex]. Insatt fås da

[tex]\mathcal{L}\bigl(f(t)\bigr) \, = \int_0^\infty \frac{1}{x} \left( \frac{x}{s^2+x^2}\right) \, \mathrm{d}x [/tex]

Etter substitusjonen [tex]s y = x[/tex] fås endelig

[tex]\mathcal{L}\bigl(f(t) \bigr) \,=\, \frac{1}{s^2}\int_0^\infty \frac{s\,\mathrm{d}y}{1+y^2} \,=\, \frac{1}{s} \cdot \frac{\pi}{2}[/tex]

Tas nå den inverse laplacetransformasjonen oppnås

[tex]f(t) \,=\, \frac{\pi}{2}[/tex]

Som ønsket. Spørsmålet mitt blir, hva er det som gjør at det å bytte om [tex]\mathrm{d}t[/tex] og [tex]\mathrm{d}x[/tex] er lov ? Er kravene fra Fubinis lov oppfyllt?

Fubinis teorem sier vel bare at du kan bytte om rekkefølgen i iterasjonen så lenge integralet skjer over et rektangulært område? Her gjør man jo nettopp det (første kvadrant). Rent formellt skal man vel innføre en ny variabel som representerer ytterkantene av et kvadrat (f.eks.) og så ta grensen når denne går mot uendelig. Hva mener du eventuelt gjør at kravene ikke er oppfylt?

Det er vel greit fordi funksjonene er såpass "snille". Du må passe på når du ikke jobber med så fine funksjoner. I dette tilfellet er vel begge funksjonene uniformt kontinuerlige (tror da det, hvertfall). Da er det greit.