matematikk.net

Hei!


På følgende oppgaver kan jeg enten bruke sammenlikningstesten eller grensesammenlignings testen for å avgjøre om følgende rekker konvergerer eller divergerer:

[tex]$${\left( a \right)\;\;\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{n + {3^n}} \over {n + {4^n}}}} \cr \left( b \right)\;\;\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over {{n^2}\ln n}}} \cr \left( c \right)\;\;\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\ln n} \over {{n^2}}}} \cr} $$[/tex]


Løsningsforslag oppg A:
Bruker grensesammenligningstesten

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\frac{n+3^n}{n+4^n}}{\frac{1}{n^2}} \cdot {{{n^2}} \over {{n^2}}}$$[/tex]

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } {{{n^3} + {n^2} \cdot {3^n}} \over {n + {4^n}}} \cdot {{{n^{ - 3}}} \over {{n^{ - 3}}}}$$[/tex]

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1+\frac{3^n}{n}}{\frac{1}{n^2}+\frac{4^n}{n^3}} = {{1 + \infty } \over {0 + \infty }} $$[/tex]

EDIT: Merk at disse to uendelighetene er vokser i to forskjellige hastigheter, men jeg skjønner at [tex]$${{{3^n}} \over n} > {{{4^n}} \over {{n^3}}}$$[/tex].

Dette må bety konvergens, er dere enige i føringen?

Hvorfor må det bety konvergens?

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=32857

Vektormannen wrote:Hvorfor må det bety konvergens?

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=32857

Først og fremst - beklager dobbeltposten.

I den andre posten skrev du:

Vektormannen wrote:Jeg tror det er lurt å sammenligne med noe som ligner mer på rekken. Hva med den geometriske rekken [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{4^n}[/tex]? Denne vet du jo konvergerer, siden den har en kvotient som er mellom -1 og 1. Prøv grensesammenligning med denne.

Ok, denne konvergerer fordi: "En uendelig geometrisk rekke er konvergent dersom absoluttverdien til kvotienten k er mindre enn 1, ellers er rekka divergent." Dette må jeg jo sjekke for å være sikker.

Men blir da mye å huske på etterhvert? Kan jeg ikke slavisk bruke p-rekkene? (det her er kanskje en p-rekke).

Jeg ser at rekka i oppgaven vil ligne på denne når n går mot uendelig.
Uansett; jeg prøver meg:

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\frac{n+3^n}{n+4^n}}{\frac{3^n}{4^n}} \cdot \frac{\frac{4^n}{3^n}}{\frac{4^n}{3^n}} $$[/tex]

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } {{\left( {n + {3^n}} \right){4^n}} \over {\left( {n + {4^n}} \right){3^n}}}$$[/tex]

hm...

Det er to typer rekker du bør huske på: p-rekkene og de geometriske rekkene. Geometriske rekker er pensum helt fra VGS / forkurs ingeniør, så de bør være kjent stoff. At disse konvergerer når kvotienten er mellom -1 og 1 bør være intuitivt (hvert ledd nr. n består jo av kvotienten ganget med seg selv n ganger. Hvis kvotienten er mellom -1 og 1 så blir jo leddene da mindre og mindre.)

Når det gjelder regningen så kan du gjøre et lite triks: [tex]\frac{4^n}{3^n} = \frac{\frac{1}{3^n}}{\frac{1}{4^n}}[/tex]. Da får du at [tex]\frac{n+3^n}{n+4^n} \cdot \frac{\frac{1}{3^n}}{\frac{1}{4^n}} = \frac{n/3^n + 1}{n/4^n + 1}[/tex].

Vektormannen wrote:Det er to typer rekker du bør huske på: p-rekkene og de geometriske rekkene. Geometriske rekker er pensum helt fra VGS / forkurs ingeniør, så de bør være kjent stoff. At disse konvergerer når kvotienten er mellom -1 og 1 bør være intuitivt (hvert ledd nr. n består jo av kvotienten ganget med seg selv n ganger. Hvis kvotienten er mellom -1 og 1 så blir jo leddene da mindre og mindre.)

Når det gjelder regningen så kan du gjøre et lite triks: [tex]\frac{4^n}{3^n} = \frac{\frac{1}{3^n}}{\frac{1}{4^n}}[/tex]. Da får du at [tex]\frac{n+3^n}{n+4^n} \cdot \frac{\frac{1}{3^n}}{\frac{1}{4^n}} = \frac{n/3^n + 1}{n/4^n + 1}[/tex].

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } {{\left( {n + {3^n}} \right){4^n}} \over {\left( {n + {4^n}} \right){3^n}}}$$[/tex]

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } {{n + {3^n}} \over {n + {4^n}}}\cdot \frac{\frac{1}{3^n}}{\frac{1}{4^n}} $$[/tex]

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } {{n/{3^n} + 1} \over {n/{4^n} + 1}} = {{0 + 1} \over {0 + 1}} = 1$$[/tex]

Grenseverdien eksisterer og vi kan derfor si at rekken vi startet med også konvergerer. At grenseverdien = 1, betyr ikke at det konvergerer mot 1 men at de konvergerer tilnærmet like for når n går mot uendelig.

Ser bra ut dette.

Vektormannen wrote:Ser bra ut dette.

Ja, takker for hjelpen. Skal merke meg disse triksene også, gjør jo det motsatt veg hele tiden (fra brudden brøk til vanlig brøk)