matematikk.net

Tenkte litt på dette problemet i dag. Anta du ønsker å finne en funksjon
som er sin egen deriverte.

En mulig løsning er selvsagt å løse differensiallikningen

[tex]y^\prime \,=\, y[/tex]

Da den er seperabel, eller bruke en rekkeutvikling. Men jeg ønsker
å bruke en annen tilnærming.

Jeg antar at en funksjon som er sin egen derivert er en eksponensialfunksjon på formen

[tex]f(x) \, = \, a^x[/tex]

Nå ønsker jeg å vise at [tex]f^\prime(x)\,=\,f(x)[/tex] hvis og bare hvis [tex]a=e[/tex].
Ved å bruke definisjonen av den deriverte har vi at

[tex]\lim_{h\to 0} \frac{a^{x+h} - a^x}{h} \,=\, a^x[/tex]

som kan skrives om til

[tex]\lim_{h\to 0} \frac{a^{h} - 1}{h} \,=\, 1[/tex]

Spørsmålet blir da, hvordan kan jeg omforme den siste grensen til noe
som likner på definisjonen til [tex]e[/tex]?

Prøv å substituere [tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^n}{n!}[/tex] for [tex]a^h[/tex] i uttrykket, så kan du regne deg fram til at grenseverdien må være lik 1.

Da må du også argumentere for at denne summen (e) er det eneste tallet som innsatt i grenseverdien gir 1.

Poenget er vel at jeg ikke ønsker å bruke noen av definisjonene av e, men utlede dem. så det å si oi, e passer blir for dumt.

Videre så sliter jeg selv med å vise at det eksisterer en løsning av likningen.

En mulig fremgangsmåte er vel å vise at

[tex]\lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h} \, = \, \int_{1}^{a} \frac{\mathrm{d}t}{t} = \log(a)[/tex]

Men igjen ser jeg ikke hvordan jeg kan vise dette. L`hopital fungerer jo selvsagt. Men når en skal derivere [tex]a^h[/tex], brukes jo [tex]e[/tex]. Og da bruker jeg noe jeg allerede skal vise.

Tenkte og at grensen kanskje kunne skrives om til en riemansum, som lignet på integralet, men selv det var litt komplisert.