matematikk.net

Sliter med en øving i lineære metoder, har følgende oppgave

What is an oppen ball [tex]B_1(x_0)[/tex]

a) in [tex]\mathbb{R}[/tex] with metric [tex]d(x,y)=|x-y|[/tex]?

b) in [tex]\mathbb{C}[/tex] with the metric induced by the norm [tex]\||x\|| = \sqrt{\text{Re}^2+\text{Im}^2}[/tex]

c) in [tex]BC([a,b],\mathbb{R})[/tex] with the metric induced by the supremum norm?

Sliter egentlig med alle sammen, skal skrive hva jeg har tenkt snarest mulig. må bare spise frokost!

bare et lite spørsmål

har man lov til å spørre om hjelp til øvinger på dette forumet

det ville i såfall ha hjulpet

Her er det bare å plugge inn i definisjonen av en åpen ball. Hvordan vil du så beskrive ballen? (Tror det er det han spør etter.)

Glemte helt å sjekke tråden jeg. Svarene mine så langt er

a) [tex]B(x_0,1) = \{ x \in \mathbb{R} \:\mid\: |x-x_0|<1 \}[/tex]

b) [tex]B(x_0,1) = \{ x \in \mathbb{C} \:\mid\: \||x_0\||<1 \}[/tex]

c) [tex]B(x_0(t),1) = \bigl\{ f \in BC \:\mid\: \sup_{t\in [a,b]}\left| f(t) - x_0(t)\right| <1 \bigr\}[/tex]

Stemmer dette noenlunde overens med hva du/dere har gjort? =)

a) og c) er like.

Jeg tror egentlig det her er meningen å skissere grafisk de områdene (punktene i rommene) som utgjør mengdene i de respektive tilfellene. Intensjonen med oppgaven er antagelig å skape geometrisk intuisjon om begrepet åpen omegn i ulike normerte rom.

På c) vil f.eks. ballen bestå av alle kontinuerlige funksjoner på [a,b] som ligger innenfor en stripe med "radius" 1 omkring funksjonen [tex]x_0[/tex]. Tegn en skisse av disse.

(Kan kanskje være nyttig å tenke over hva som skjer dersom man endrer oppgave c) til et åpent intervall (a,b). Er det da mulig å definere en norm på samme måte?)

Spurte studass om dette, og det bare meningen å sette opp definisjonen for de ulike "ballene". MEN for min egen del, og forståelse ønsker jeg å danne meg en geometrisk forståelse

a)


c)


Takker Emilon for å bekrefte =)

Derimot på b) er jeg fortsatt ganske blank. Ser
at en måler avstanden fra origo til det komplekse tallet.

Så det blir vel en slags sirkel i det komplekse planet?

[tex]e^{(i \pi x)} < 1[/tex] ?

I a) har du tegnet en figur med et plan, men det er jo [tex]\mathbb{R}[/tex] og ikke [tex]\mathbb{R}^2[/tex] vi ser på?

I b) så blir det vel en åpen disk (eller hva det kalles) ja. Den gitte normen er den vanlige normen for [tex]\mathbb{C}[/tex]. Hvis du tenker på de komplekse tallene som punkter i det komplekse planet, så gir denne normen avstanden mellom punktene, akkurat som i [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. [tex]\||x-x_0\|| < 1[/tex] oppfylles da av alle punkt som er innenfor sirkelen med sentrum i [tex]x_0[/tex] og radius 1. Jeg har hvertfall tenkt på den måten?

Vektormannen wrote:I a) har du tegnet en figur med et plan, men det er jo [tex]\mathbb{R}[/tex] og ikke [tex]\mathbb{R}^2[/tex] vi ser på?

I b) så blir det vel en åpen disk (eller hva det kalles) ja. Den gitte normen er den vanlige normen for [tex]\mathbb{C}[/tex]. Hvis du tenker på de komplekse tallene som punkter i det komplekse planet, så gir denne normen avstanden mellom punktene, akkurat som i [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. [tex]\||x-x_0\|| < 1[/tex] oppfylles da av alle punkt som er innenfor sirkelen med sentrum i [tex]x_0[/tex] og radius 1. Jeg har hvertfall tenkt på den måten?

Ja, helt rett