matematikk.net

Hei!

Har i oppgave å bruke addisjonsformelen [tex]sin(\theta + \varphi)=sin \theta cos \varphi + cos \theta sin \varphi[/tex] til å vise at sin x er kontinuerlig for alle x.

Noen som har et lite tips å komme med? Kommer ikke helt i gang...

edit: fikset addisjonsformelen

Addisjonsformelen din ser litt rar ut? Uansett, du må vise at uansett [tex]a \in \mathbb{R}[/tex] så er [tex]\lim_{x \to a} \ \sin x = \sin a[/tex]. Det er det samme som å vise grenseverdien [tex]\lim_{h \to 0} \ \sin(a + h) = \sin a[/tex]. Er du med på det?

For å gjøre det skikkelig trenger jo du strengt talt å bruke epsilon/delta definisjonen. For at en funksjon skal være definert på et intervall
så for enhver [tex]\epsilon>0[/tex] så eksisterer det en [tex]\delta[/tex] slik at for alle [tex]x \in I[/tex] så

[tex]\|x-c \| \, < \, \delta \: \Rightarrow \: \\| f(x)-f(c) \| \, < \, \epsilon[/tex]

I ditt tilfelle må du vise at

[tex]|x - y| < \delta [/tex] impliserer [tex]|sin(x) - sin(y)| < \epsilon.[/tex]

Ved litt triksing og miksing med sumformlene kan du vise dette relativt enkelt.

Nebuchadnezzar wrote:For å gjøre det skikkelig trenger jo du strengt talt å bruke epsilon/delta definisjonen. For at en funksjon skal være definert på et intervall
så for enhver [tex]\epsilon>0[/tex] så eksisterer det en [tex]\delta[/tex] slik at for alle [tex]x \in I[/tex] så

[tex]\|x-c \| \, < \, \delta \: \Rightarrow \: \\| f(x)-f(c) \| \, < \, \epsilon[/tex]

I ditt tilfelle må du vise at

[tex]|x - y| < \delta [/tex] impliserer [tex]|sin(x) - sin(y)| < \epsilon.[/tex]

Ved litt triksing og miksing med sumformlene kan du vise dette relativt enkelt.

Er i grunnen enig med deg i det , men har spurt foreleser om vi skulle bruke epsilon-delta til å vise kontinuitet, og han svarte at vi skulle bare beregne grensene...

Men for å beregne grensene må du strengt talt benytte deg av definisjonen!
Som er epsilon/delta ^^

Dersom f er en funksjon som er definert på et åpent intervall som inneholder c, og L er et reelt tall så betyr

[tex]\lim_{x\to c} f = L [/tex]

at for enhver reell [tex]\epsilon>0[/tex] exsisterer det en reel [tex]\delta > 0[/tex] slik at for alle x med [tex]0 < |x - c| < \delta[/tex], we have [tex]|f(x) - L| < \epsilon[/tex]

Det er ingen som helst grunn til å bruke epsilon-delta med mindre det er oppgitt, eller med mindre de regnereglene vi har for grenser og de grenseverdiene vi kan anta som kjente, ikke strekker til. I denne oppgaven får vi bruk for tre ting: 1) Hvis grenseverdien av hvert ledd eksisterer så er grensen av summen lik summen av grensene. 2) Grensen av en konstant ganger en funksjon er lik konstanten ganger grensen av funksjonen. 3) [tex]\lim_{x \to 0} \ \sin x = 0[/tex] og [tex]\lim_{x \to 0} \ \cos x = 1[/tex]. De to grensene viste dere i går.

EDIT: Det kan selvsagt være god trening å gjøre det med epsilon-delta da

Vektormannen wrote:Det er ingen som helst grunn til å bruke epsilon-delta med mindre det er oppgitt, eller med mindre de regnereglene vi har for grenser og de grenseverdiene vi kan anta som kjente, ikke strekker til. I denne oppgaven får vi bruk for to ting: 1) Hvis grenseverdien av hvert ledd eksisterer så er grensen av summen lik summen av grensene. 2) [tex]\lim_{x \to 0} \ \sin x = 0[/tex] og [tex]\lim_{x \to 0} \ \cos x = 1[/tex]. De to siste her viste dere i går.

Ja, nå har jeg forstått den også, så nå er jeg ferdig med hele den bunken med oppgaver... Men har sikkert noen regneoppgaver fra boken jeg har hoppet over hvis du vil ha mer å svare på...

Tusen takk for hjelpen