matematikk.net

Find [tex]u(x,t)[/tex] for the string of length [tex]L=1[/tex] and
[tex]c^2=1[/tex] when the initial velocity is zero and the initial deflection with small k (say, 0.01) is as follows. Sketch or graph as in
Fig. 291 in the text.

[tex]k \sin(3\pi x)[/tex]

Her lurer jeg virkelig på hva jeg skal gjøre.

Tenkte først at en skulle benytte seg av bølgelikningen som har løsning

[tex]u(x,y) = \sum_{n=1}^\infty A_n \cos \lambda_n t + B_n \sin \lambda_n t \sin \frac{n \pi}{L} x\,,[/tex]

hvor [tex]\lambda cn\pi/L[/tex] og

[tex]A_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x[/tex]
og
[tex]B_n = \frac{2}{cn\pi} \int_0^L g(x) \sin \frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x[/tex]
I oppgaven vår så er hastigheten i begynnelsen null, slik at [tex]g(x)=0[/tex].
Videre fås

[tex]\begin{align} A_n = & \frac{2}{L} \int_0^L k \sin(3\pi x) \sin \frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x \\ = & \frac{k}{L} \int_0^L \cos(3\pi x-\frac{n\pi x}{L}) - \cos(3\pi x+\frac{n\pi x}{L}) \,\mathrm{d}x \\ = & \frac{k}{L} \left[ \frac{L}{\pi(3L-n)}\sin(3\pi x-\frac{n\pi x}{L}) - \frac{L}{\pi(3L+n)}\sin(3\pi x+\frac{n\pi x}{L})\right]_0^L \\ = & \frac{k}{\pi}\left[ \frac{\sin(\pi(3L-n))}{3L-n} - \frac{\sin(\pi(3L+n))}{3L+n} \right] \\ = & 0 \end{align} [/tex]

Men dette blir jo feil, hva er det jeg egentlig skal gjøre på oppgaven?

Ikke at jeg husker helt hvordan man gjorde dette, men jeg tror du har integrert feil?

Så maple regner feil? Ja, kanskje ^^
Men ja, godt mulig jeg texa feil her, er jo helt horribelt at en ikke kan bruke mellomrom... Svaret blir uansett null for heltall, og da faller jo hele løsningen bort.

Hvis du vil TeXe bedre, foreslår jeg å innse at array er avlengs og ta i bruk align.

Noe som jeg prøvde først og det ble ikke bedre, så da byttet jeg til array for å se om det ville funke, noe som det ikke gjorde...

Array er avlengs ja, men uansett så skal det fungere langt bedre enn hva det gjør i innlegget mitt.

Jeg skriver og har skrevet alle øvingene mine så langt i Latex, så jeg regner med jeg har litt peiling

UANSETT er jo dette off-topic til tusen, det er ikke latex jeg sliter med men løsningen av oppgaven.

Det er litt uklart for meg hva oppgaven går ut på. Er det snakk om å løse ligningen [tex]\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial^2 t}[/tex] med grensebetingelser [tex]u(0,t)=u(L,t)=0[/tex] og initialbetingelser [tex]u(x,0)=k\sin(3\pi x)[/tex] og [tex]\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0[/tex]?

Uklart for meg og, da jeg skrev ned alt som står i oppgaven.

Men jeg antar det der det oppgaven går ut på ja.

Nebuchadnezzar wrote:Så maple regner feil? Ja, kanskje ^^
Men ja, godt mulig jeg texa feil her, er jo helt horribelt at en ikke kan bruke mellomrom... Svaret blir uansett null for heltall, og da faller jo hele løsningen bort.

Plotta det bare kjapt inn i wolframalpha og fikk noe annet enn 0, så jeg vet ikke.

Kan jo bare bruke d'Alemberts løsning av bølgeligningen. Med initialbetingelser [tex]u(x,0)=f(x)[/tex] og [tex]\frac{\partial}{\partial t} u(x,t) |_{t=0} = 0[/tex] får man da

[tex]u(x,t)=\frac{f(x+cv)+f(x-cv)}{2}[/tex] for alle [tex]-\infty < x < \infty[/tex]

Denne løsningen er for en uendelig streng, men den kan gjøres til en løsning for en endelig streng ved å konstruere en egnet [tex]f(x)[/tex] fra initialverdiene dine.

Hvis dette er 4k er vel separasjon av variable den teknikken som er nærliggende å bruke.

Da jeg tok 4K lærte vi d'Alemberts løsning, men kanskje den kommer senere/avhenger av foreleser?

espen180 wrote:Da jeg tok 4K lærte vi d'Alemberts løsning, men kanskje den kommer senere/avhenger av foreleser?

Ja, godt mulig. Det er en stund siden jeg tok det så jeg husker ikke. Det er i alle fall mange veier frem til en løsning.

Nebuchadnezzar wrote: Jeg skriver og har skrevet alle øvingene mine så langt i Latex, så jeg regner med jeg har litt peiling

Nå skal jeg ikke påstå at du ikke har peil, men det at man har brukt et verktøy i lang tid er ikke ensbetydende med at man har peil.