matematikk.net

Hei. Jeg har en oppgave hvor jeg skal finne alle komplekse løsninger til likningen:

z^5 + 16z = 0

Her er hvordan jeg har gått fram.
Jeg ser at z = 0 er en løsning og deler likningen på z og får z^4 = - 16.

Deretter finner jeg fjerderøttene til -16 som er.
w0 = 2e^i*pi/4
w1 = 2e^i*3pi/4
w2 = 2e^i*5pi/4
w3 = 2e^i*7pi/4

Er dette gjort på riktig måte og har jeg funnet alle løsningene?

Hadde vært kjempe fint med en oppklaring og jeg takker for alle svar.
Hilsen Adrian

Ser riktig ut dette.

Endring:
I lys av svaret under føler jeg det er på sin plass å kommentere at jeg antok TS visste hvordan man kom frem dette og kun spurte om det var riktig. For fremgangsmåte se posten under.

adrianhs wrote:Hei. Jeg har en oppgave hvor jeg skal finne alle komplekse løsninger til likningen:

z^5 + 16z = 0

Her er hvordan jeg har gått fram.
Jeg ser at z = 0 er en løsning og deler likningen på z og får z^4 = - 16.

Deretter finner jeg fjerderøttene til -16 som er.
w0 = 2e^i*pi/4
w1 = 2e^i*3pi/4
w2 = 2e^i*5pi/4
w3 = 2e^i*7pi/4

Er dette gjort på riktig måte og har jeg funnet alle løsningene?

Hadde vært kjempe fint med en oppklaring og jeg takker for alle svar.
Hilsen Adrian

Det er èn måte å gjøre det på...

Alterativt kunne man skrive z^4 på polarform, bruke [tex](z^4)^{\frac14}[/tex] på denne (inkluderer "de Moivre's teorem" når man opphøyer[tex] (cos (vinkel+k2\pi)+i sin (vinkel+k2\pi)[/tex]i noe kan man dele [tex](vinkel+k2\pi)[/tex] på det man opphøyer i) , det gir samme svar:

[tex]z^4=-16=16(cos \pi + i sin \pi)[/tex], videre: [tex](z^4)^{\frac14}=(16(cos \pi + i sin \pi))^{\frac14}=2(cos \pi + i sin \pi)^{\frac14}=2 (cos \frac{\pi}4 + i sin \frac{\pi}4 )[/tex].

Alltid greit å ha en måte nr. 2 å kontrollere svarene sine på.

Ellers ville jeg ha ført opp løsningene slik til slutt:
[tex]z=\left{ {0 \\ w_0=... \\ w_1=... \\ w_2 =... \\ w_3=...}[/tex]

(Hvis det var på en eksamen e.l. , har du kanskje ført litt kort fremgangsmåte)

Ellers bra!

Takk for svar!

Ble litt forvirret etter å ha sett denne utregningen:
http://ca.answers.yahoo.com/question/in ... 519AA8OH8r

Men da må han ta feil da?

Ikke feil. Det er flere måter å gjøre det på. Noen litt mer elegante enn andre.

adrianhs wrote:Takk for svar!

Ble litt forvirret etter å ha sett denne utregningen:
http://ca.answers.yahoo.com/question/in ... 519AA8OH8r

Men da må han ta feil da?

Han løser ikke samme ligning som deg, men:

[tex]z^5+16 \bar{z}=0[/tex] , der [tex]\bar{z}[/tex] er den komplementære til z.

mstud wrote:

adrianhs wrote:Takk for svar!

Ble litt forvirret etter å ha sett denne utregningen:
http://ca.answers.yahoo.com/question/in ... 519AA8OH8r

Men da må han ta feil da?

Han løser ikke samme ligning som deg, men:

[tex]z^5+16 \bar{z}=0[/tex] , der [tex]\bar{z}[/tex] er den komplementære til z.

Er vel snakk om kompleks konjugert. Er det det samme som komplementær?

Mente kompleks konjugert, men ser at det ikke var det jeg skrev...