Hei
[tex]$$\left( a \right)\;\;\;\;{y_n} - 5{y_{n - 1}} + 6{y_{n - 2}} = 0$$[/tex]
[tex]$$K.\;lign:\;\;{\lambda ^2} - 5\lambda + 6 = 0$$[/tex]
[tex]$$\lambda = {{ - \left( { - 5} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 5}\right)}^2} - 4 \cdot 1 \cdot 6} } \over {2 \cdot 1}} = {{5 \pm 1} \over 2} = \left\{ {\matrix{3 \cr 2 \cr } } \right.$$[/tex]
[tex]$$ \Rightarrow \underline{\underline {{y_n} = A \cdot {3^n} + B \cdot n \cdot {2^n}}} $$[/tex]
[tex]$$\left( b \right)\;\;\;\;{y_n} - 5{y_{n - 1}} + 6{y_{n - 2}} = 5 \cdot {4^n}$$[/tex]
... hva skjer med leddet: [tex]$$5 \cdot {4^n}$$[/tex]
FASIT: [tex]$${y_n} - 5{y_{n - 1}} + 6{y_{n - 2}} = 10 \cdot {4^{n + 1}}$$[/tex]
Differensligning generell løsning
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
Du mener antakeligvis at løsningen av den homogene løsningen er
[tex]y_n \,=\, A 2^n \,+\, B 3^n[/tex]
Videre så antar vi at løsningen av den imhomogene likningen er summen av den partielle løsningen pluss den homogene.
Her er den homogene løsningen
[tex]h_n \,=\, A 2^n \,+\, B 3^n[/tex]
Siden vi har [tex]5 \cdot 4^n[/tex], kan vi tippe på den partielle løsningen er på formen [tex]p_n \,=\, B \cdot 4^n[/tex], innsetning gir oss da at
[tex]B \cdot 4^n \,-\, 5 \cdot B \cdot 4^{n-1} \,+\, 6 \cdot B \cdot 4^{n-2} \,=\, 5 \cdot 4^n[/tex]
[tex]B \,-\, 5 \cdot B \cdot 4^{-1} \,+\, 6 \cdot B \cdot 4^{-2} \,=\, 5 [/tex]
[tex]B \left(1 \,-\, 5 \cdot 4^{-1} \,+\, 6 \cdot 4^{-2} \right) \,=\, 5 [/tex]
[tex]B \,=\, \frac{5}{\,1 \,-\, 5 \cdot 4^{-1} \,+\, 6 \cdot 4^{-2}\,} \,=\, 40[/tex]
Altså er løsningen av likningen
[tex]y_n \,=\, h_n \,+\, p_n \,=\, A \cdot 3^n \,+\, B \cdot 2^n \,+\, 40 \cdot 4^n[/tex]
Litt faktorisering og triksing gir oss
[tex]y_n \,=\, h_n \,+\, p_n \,=\, A\cdot 3^n \,+\, B \cdot 2^n \,+\, 5 \cdot 2^{2n+3}[/tex]
Alternativt kan en og skrive [tex]40 \cdot 4^n \,=\, 10 \cdot 4^{n+1}[/tex],hva en foretrekker blir en smakssak. Dette vil jeg si er det endelige svaret. Dette stemmer overens med begge kalkulatorene mine, så antar det er fasiten som har slurva
[tex]y_n \,=\, A 2^n \,+\, B 3^n[/tex]
Videre så antar vi at løsningen av den imhomogene likningen er summen av den partielle løsningen pluss den homogene.
Her er den homogene løsningen
[tex]h_n \,=\, A 2^n \,+\, B 3^n[/tex]
Siden vi har [tex]5 \cdot 4^n[/tex], kan vi tippe på den partielle løsningen er på formen [tex]p_n \,=\, B \cdot 4^n[/tex], innsetning gir oss da at
[tex]B \cdot 4^n \,-\, 5 \cdot B \cdot 4^{n-1} \,+\, 6 \cdot B \cdot 4^{n-2} \,=\, 5 \cdot 4^n[/tex]
[tex]B \,-\, 5 \cdot B \cdot 4^{-1} \,+\, 6 \cdot B \cdot 4^{-2} \,=\, 5 [/tex]
[tex]B \left(1 \,-\, 5 \cdot 4^{-1} \,+\, 6 \cdot 4^{-2} \right) \,=\, 5 [/tex]
[tex]B \,=\, \frac{5}{\,1 \,-\, 5 \cdot 4^{-1} \,+\, 6 \cdot 4^{-2}\,} \,=\, 40[/tex]
Altså er løsningen av likningen
[tex]y_n \,=\, h_n \,+\, p_n \,=\, A \cdot 3^n \,+\, B \cdot 2^n \,+\, 40 \cdot 4^n[/tex]
Litt faktorisering og triksing gir oss
[tex]y_n \,=\, h_n \,+\, p_n \,=\, A\cdot 3^n \,+\, B \cdot 2^n \,+\, 5 \cdot 2^{2n+3}[/tex]
Alternativt kan en og skrive [tex]40 \cdot 4^n \,=\, 10 \cdot 4^{n+1}[/tex],hva en foretrekker blir en smakssak. Dette vil jeg si er det endelige svaret. Dette stemmer overens med begge kalkulatorene mine, så antar det er fasiten som har slurva
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Fra notatet: http://ansatte.uit.no/bda006/MatteNotat ... 2orden.pdf
Skriver B. Davidsen at den generelle løsningen av en differensligning er:
[tex]$${x_n} = A{x_{n - 1}} + B{x_{n - 2}} + f\left( n \right)$$[/tex]
Er det korrekt at i min oppgave:
[tex]$${y_n} - 5{y_{n - 1}} + 6{y_{n - 2}} = 5 \cdot {4^n}$$[/tex]
er [tex]$$f\left( n \right) = 5 \cdot {4^n}$$[/tex] ?
"det finnes ikke dumme spørsmål"
Skriver B. Davidsen at den generelle løsningen av en differensligning er:
[tex]$${x_n} = A{x_{n - 1}} + B{x_{n - 2}} + f\left( n \right)$$[/tex]
Er det korrekt at i min oppgave:
[tex]$${y_n} - 5{y_{n - 1}} + 6{y_{n - 2}} = 5 \cdot {4^n}$$[/tex]
er [tex]$$f\left( n \right) = 5 \cdot {4^n}$$[/tex] ?
"det finnes ikke dumme spørsmål"
Bygg.ing @ Hib - 2 året.