matematikk.net

For å finne en grenseverdi har de manipulert uttrykket sådan: [tex]\frac{sqrt(x^2+x)-x}{x}= -sqrt(1+\frac{1}{x})-1[/tex] ved å dele med x i nevner og teller, men jeg er ikke helt sikker på hvordan de har gått frem.

Edit: Fikset kvadratrot

Stemmer vel ikke helt, det du har skrevet da. Men sånn sjapt, vi har at

[tex]\frac{\sqrt{x^2-x\,}}{x} \,=\, \sqrt{\frac{\,x^2-x\,}{x^2}} [/tex] ,

klarer du resten da? =)

Jeg skjønner fortsatt ikke hvor minusen foran kvadratroten i det høyre uttrykket kommer fra (var det den du siktet til da du skrev at det ikke stemte helt?).

Yes!

Og at du hadde noe kluss med rottegnet ditt, men det fikset du. Skal ikke være noe minus der nei.

Hm, isåfall er det en feil i Kalkulus av Tom Lindstrøm (for UiO) på side 237. Oppgaven er altså å finne grenseverdien av [tex]\frac{1}{sqrt(x^2+x)+x}[/tex] når x går til minus uendelig.

Du glemte å nevne at dette var en grenseverdi, som gikk mot noe negativt!

[tex](-5)^2 = 25[/tex] og [tex]5^2 = 25[/tex]

La oss for eksempel ta grenseverdien

[tex]\lim_{x \to -5} x = -5[/tex],

hva skjer om vi tar kvadratroten, uten å tenk på fortegnet?

[tex]\lim_{x \to -5} x = \lim_{x \to -5} \sqrt{x^2} = \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = \sqrt{5^2} = 5[/tex]

Som blir feil, derimot så er det riktig å skrive at

[tex]\lim_{x \to -5} x = \lim_{x \to -5} -\sqrt{x^2} = -\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{5^2}=-5[/tex]

siden x<0, i oppgaven din får vi altså

[tex]\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{x^2+x}+x} = &\frac{1}{\sqrt{x^2+x}+x} \cdot \frac{\sqrt{x^2+x}-x}{\sqrt{x^2+x}-x} \\ & = \frac{\sqrt{x^2+x}-x}{(x^2+x)-x^2} \\ & = \frac{\sqrt{x^2+x}}{\pm \sqrt{x^2}}-1 \\ & = \pm \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 \end{align*}[/tex]

[tex]\lim_{x \to -\infty} \: \frac{1}{\sqrt{x^2+x}+x} \: = \: \lim_{x \to -\infty}\: -\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 = -\sqrt{1 + 0} - 1 = -2[/tex]

Tusen takk for oppklarende svar, Nebu. Hatten av.