matematikk.net

Jeg kommer ikke noen vei med denne. Tips?

Finn grenseverdien av [tex]\frac{sin x}{sqrt(sin^2x+x)-x}[/tex] når x går fra positiv til 0.

Sånn litt på øyemål: Ser ut som du får 0/0, så kanskje prøve L'Hopital?

L'Hôpital?
Ellers kan ting bli penere dersom du ganger med konjugater. I dette tilfelle vil dette innebære å gange med brøken:
[tex]\frac{\sqrt{\sin^2(x)+x}+x}{\sqrt{\sin^2(x)+x}+x}[/tex].
Uten at jeg skal garantere at dette er en fremgangsmetode som fungerer. Det er bare det første jeg tenker.

Hm, med L'Hopitals får vi 1/0, ikke sant, siden sin^2 alltid vil bli derivert til noe med sin i uttrykket? 0 er riktig svar, så... kanskje det ikke er verre?

Faktisk vil du få 0/1.

[tex]\lim_{x \to 0^+} \frac{sin x}{sqrt(sin^2x+x)-x} =^{[Lhop]} \lim_{x \to 0^+} \frac{\cos(x)}{\frac{(\sin(x)+\cos(x))^2}{2\sqrt{x + \sin^2(x)}}+1} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\cos(x)2\sqrt{x + \sin^2(x)}}{(\sin(x)+\cos(x))^2+2\sqrt{x + \sin^2(x)}}[/tex]
[tex]= \frac{1 \cdot 0}{(0+1)^2 + 0} = \frac{0}{1} = 0[/tex]

0/1 mente jeg, ja. Jeg hadde forøvrig sett feil på oppgaven, det riktige skulle være [tex]\frac{sin x}{sqrt(sin^2x+x^2)-x}[/tex] som blir [tex]sqrt2 +1[/tex] etter konjugering + algebrabrøktriks + L'Hop.

Fra teorien om taylorpolynomer har vi at

[tex]\sin x \simeq x[/tex] dersom [tex]x \ll 1[/tex]

Altså har vi at for små x så er

[tex]\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{\sqrt{\sin^2 x + x^2} - x} = \lim_{x \to 0^+}\: \frac{x}{\sqrt{(x)^2 + x^2} - x} = \lim_{x \to 0^+} \: \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2} + 1[/tex]

Siden [tex]1/(\sqrt{2}-1) = \sqrt{2} + 1[/tex]

EDIT: Og selvsagt skal oppgaven være

[tex]\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{\sqrt{\sin^2 x + x^2} - x} = \sqrt{2}+1[/tex]

og ikke

[tex]\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{\sqrt{\sin^2 x + x} - x} = 0 [/tex]

Som trådstarter oppgav og wingeer regnet ut.

Elegant!

Bruker mest den tilnærmingen til sinus for å irritere Vektormannen ^^
Taylor blir kanskje introdusert senere, benytter du deg derimot av hintet til Aleks ender du opp med

[tex]\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{\sqrt{\sin^2 x + x} - x} = \lim_{x \to 0^+}\: \sqrt{1 + \left( \frac{\sin(x)}{x}\right)^{-2}} + \left( \frac{\sin(x)}{x} \right)^{-1}[/tex]

Og grenseverdien [tex]\lim_{x\to 0^+} \sin(x)/x[/tex] burde være kjent. Mellomregningene overlater jeg til deg, da du må arbeide litt du og