matematikk.net

Hei

Har en oppgave her: [tex]$${y_n} + 2{y_{n - 1}} = 3{n^2} - 2\;\;\;for\;n \ge 1$$[/tex]

Dette er en type: 1.ordens, lineær, inhomogen differenslikning med [tex]$$f\left( n \right) = 3{n^2} - 2$$[/tex]


Jeg trenger hjelp til å gjette riktig pertikulærløsning for å komme frem til den generelle ligningen [tex]$${y_n} = {h_n} + {p_n}$$[/tex]


Vi har jo en setning som sier at:
Dersom [tex]$$f\left( n \right)$$[/tex] er et polynom i [tex]n[/tex], lar vi også partikulærløsningen være et polynom i [tex]n[/tex] av samme grad.

Kilde (side 5): http://ansatte.uit.no/bda006/MatteNotat ... 2orden.pdf


Jeg forsøkte å gjette at: [tex]$${p_n} = B{n^2} - 2$$[/tex] og deretter å sette det inn (i tråd med det Nebu gjorde her: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=33143)

Dersom du har [tex]3n^2 \,-\, 2[/tex] så er det best å gjette på at løsningen er et polynom av samme grad. Altså er det mest generelle du kan gjette på
An^2 + Bn + C, etter innsetning og faktorisering fås

[tex]3An^2 +\, (3B - 4A)n \,+\, (3C + 2A - 2B) \,=\, 3n^2 \,+\, 0 \cdot n - \,2\,[/tex]

Sammenlikner vi ledd får vi likningene

[tex]3A n^2 \,=\, 3n^2[/tex]

[tex]3B \,-\, 4A \,=\, 0[/tex]

[tex]3C \,+\, 2A - 2B \,=\, - \, 2[/tex]

Og herfra kan du finne [tex]A,B[/tex] og [tex]C[/tex], ved å løse likningsettet. Selvsagt kan du gjette på en mer spesifikk løsning. Men jeg finner det lettere å bare gjette på det mest generelle tilfellet.

Om du for eksempel har [tex]4n[/tex] på høyre side, vil jeg tippe løsningen [tex]An + B[/tex], selv om løsningen sannsynligvis er på formen [tex]4n[/tex]

Første linja etter innsetning ser slik ut:

[tex]$$A{n^2} + Bn + C + 2\left( {A{{\left( {n - 1} \right)}^2} + B\left( {n - 1} \right) + C} \right) = 3{n^2} - 2$$[/tex]

Sant?

=)