matematikk.net

Hei! Sliter med en oppgave som holder på å gjøre meg gal. Jeg skal finne antall fyrstikker som trengst for å lage n[sup]2[/sup] kvadrater, og nå sitter jeg altså fast.

Har kommet frem til at antall fyrsikker som trengst er gitt ved: n[sup]2[/sup] * 4 - "felles fyrstikker", der felles fyrstikker = antall fyrstikker i det forige kvadratet.

Felles fyrstikker er videre gitt ved denne rekken:

ledd nr.: 1 2 3 4 5 6
felles : 0 4 12 24 40 60
diff : 4 8 12 16 20

Jeg ser jo at differansen mellom antall fyrstikker er gitt ved 4 * forige leddnummer, men jeg har ikke peiling på hvordan jeg skal formulere dette på en fornuftig måte, slik at jeg får antall felles fyrstikker i det forige kvadratet. Er en stund siden jeg har holdt på med rekker nå, så jeg husker ikke så mye av det x)

All hjelp blir mottatt med takk! :D

Jeg kom fram til en litt annen formel. Første tenkte jeg antall fyrstikker som var langs kanten. Dette var gitt med [tex]4\cdot n[/tex] så fant jeg antall fyrstikker "inni" kvadradratet. Dette var gitt [tex](2(n-1))\cdot n[/tex]

Slik at [tex]a_n=4n+(2(n-1))\cdot n=2n^2+2n[/tex]

Eller ved hvis du skriver ned de første kvadratene.

[tex]a_1=4+0 \\ a_2=4\cdot 2 + 2\cdot 2 \\ a_3=4\cdot 3+4\cdot 3 \\ a_4=4\cdot 4+6\cdot 4[/tex]

Det var slik jeg så systemet i antall fyrstikker.

Hmm. Hvordan har du tenkt for å komme frem til dette da? ;s Og går det ikke og få frem en fornuftig formel av fremgangsmåten min? :/

Du har ikke så mange steg igjen med din egen metode fra å komme i mål

Du sier at differansen mellom antall felles stikker når det er [tex]n^2[/tex] kvadrater og når det er [tex](n-1)^2[/tex] kvadrater er lik [tex]4(n-1)[/tex]. Vi kan kalle antall felles stikker for [tex]F_n[/tex]. Da sier du altså at [tex]F_n = F_{n-1} + 4 (n-1)[/tex]. Men er du med på at da må [tex]F_n = F_{n-2} + 4(n-2) + 4(n-1)[/tex] og så videre, helt ned til [tex]F_n = 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + ... + 4(n-2) + 4(n-1)[/tex]? (Vi summerer opp alle differansene).

Da har du altså, som du sier at antall stikker som trengs er gitt ved [tex]4n^2 - F_n[/tex]. Hvis du setter inn det vi fant ovenfor, og benytter det du vet om rekken 1+2+3+...+n, så tror jeg du klarer resten

Ok, så om man tar at antall fyrstikker = 4n[sup][/sup] - Fn, der Fn er rekka over de natrulige tallene * 4, vil jo formelen bli slik (såvidt jeg forstår):

Fn = 4 * (1 + 2 +3 + ... n) = 4 * (n(n+1))/2 = 2n(n+1)

Da får jeg formelen:
4n[sup]2[/sup] - 2n(n+1), og dette burde vel gi antall fyrstikker, men når jeg regner det ut får jeg antall felles fyrstikker? Nå er jeg helt forvirret x)