matematikk.net

Tviler på noen gidder å svar meg på disse kjedelig sakene, men prøver meg likevell.

Arbitrary temperatures at ends . If the ends [tex]x=0[/tex]
and [tex]x=L[/tex] of the bar in the text are kept at constant
temperatures [tex]U_1[/tex] and [tex]U_2[/tex] respectively, what is the temperature $[tex]u_1(x)[/tex] in the bar after a long time (theoretically,
as [tex]t \to \infty[/tex])? First guess, then calculate.

Kort sagt har jeg en stang av lengde [tex]L[/tex] som er helt isolert. Videre
så er temperaturen i venstre endepunkt lik [tex]U_1[/tex] og i høyre endepunkt lik [tex]U_2[/tex]
målet mitt er å finne stavens temperatur etter veldig lang tid.

Min antakelse er at temperaturen vil nå en middelverdi, som gitt fra
termodynamikkens første lov. Altså at

[tex]u(x,t) \simeq (U_2 - U_1)/L[/tex] dersom [tex]t\to \infty[/tex]

Her tenker jeg at en selvsagt skal benytte seg av varmelikningen

[tex]\fra{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = \fra{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}x^2}[/tex]

med initialverdier [tex]u(x,0)=U_1[/tex] og [tex]u(L,0) = U_2[/tex].
Videre så er det rimelig å anta at løsningen er et produkt av en funksjon som avhengier av x og en som avhengier av t. Altså at

[tex]u(x,t)=X(x) \cdot T(t)[/tex]

Deriverer vi og setter og trikser litt fås

[tex]\frac{1}{c^2} \frac{\dot{X}}{X} = \frac{T^{\prime\prime}}{T}[/tex]

Da høyre side avhengier bare av [tex]x[/tex] og venstre side bare avhengier av [tex]t[/tex], kan vi si at likningen vil være lik en eller annen konstant [tex]\lambda[/tex] som ikke avhengier av hverken [tex]x[/tex] eller [tex]t[/tex]. Dette gir meg likningene

[tex]\dot{X} = c^2 X [/tex]
[tex]T^{\prime\prime} = T[/tex]

HER BEGYNNER PROBLEMENE

Antar jeg at [tex]c^2 = 0[/tex] er løsningen av øverste likning lik

[tex]X(x) = Ax + B[/tex], også må jeg velge [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] slik at vilkårene er oppfyllt? Dette gir meg i så fall at

[tex]X(x) = \left( \frac{U_2 - U_1}{L} \right) x + U_2[/tex]

Men denne likningen sier jo ingenting hva som skjer når [tex]t \to \infty[/tex]. Hmm... Uansett vil den andre løsningen være

[tex]T^\prime = 0[/tex]

Integrasjon gir at

[tex]T = C[/tex] hvor [tex]C[/tex] er en vilkårlig konstant. Insatt fås da at

[tex]U(x,t) = X(x) \cdot T(x)[/tex]

For at [tex]U(0,t) = U_1[/tex] og [tex]U(L,t)=U_2[/tex] må [tex]C = 1[/tex], og da får vi jo at

[tex]U(x,t) = \left( \frac{U_2 - U_1}{L} \right) x + U_2[/tex]

Som ikke avhengier av [tex]t[/tex]! Så hva skal jeg gjøre med denne løsningen?

Hint: Hvis vi antar at temperaturfordelingen når en grenseverdi i grensen [tex]t\to\infty[/tex] (som ikke er urimelig med mindre man har tidsavhengige grensebetingelser), vil grenseverdien oppfylle Laplace's ligning: [tex]\nabla^2 u = 0[/tex].

Og laplace likningen er jo bare "steady state heat equation", som jeg har benyttet meg av...