matematikk.net

Dette er oppgaven:

a) Vis at
[tex]\frac{1}{(n+1)\ln(n+1)}<\ln[\ln(n+1)]-\ln[\ln(n)]<\frac{1}{n\ln n}[/tex]
når [tex]n[/tex] er et naturlig tall større enn 1.

b) Vis at følgen [tex]\{s_n\}[/tex] der
[tex]s_n=\frac{1}{2\ln2}+\frac{1}{3ln3}+\dots+\frac{1}{(n+1)\ln(n+1)}[/tex]
ikke konvergerer.

Jeg løste a) ved bruk av middelverdisetningen, men er usikker på hvordan jeg skal angripe b). Kunne noen kommet med et tips?

I b) skal du helt sikkert benytte deg av a)

Men det letteste for er nok å benytte seg av integraltesten på b)

Du vet at

[tex]\frac{1}{n \ln n} > \ln [\ln(n+1)] - \ln (\ln n)[/tex]

Da må

[tex]\sum_{k=2}^n \frac{1}{k \ln k} > \sum_{k=2}^n (\ln [\ln(k+1)] - \ln (\ln k))[/tex]

Prøv å skrive ut summen på høyre side og se om du kan kansellere noen ledd mot hverandre. Kan du finne et lukket uttrykk for summen?

Da får jeg [tex]\ln[\ln(1+n)]-\ln[\ln(2)][/tex] som åpenbart går mot uendelig når [tex]n\to\infty[/tex]. Da må også venstresiden gå mot uendelig.

Det var jo egentlig ganske rett fram. Mange takk for hjelpen. Skal også ta en titt på integraltesten.