Metoden jeg foretrekker er vist under.
Fra Euler har vi at
[tex]e^{i\omega x} = \cos (\omega x) + i \sin (\omega x)[/tex]
også kjent som eulers formel/ identitet. Hvor [tex]i^2 = -1[/tex].
Tar vi integralet av denne rakkeren får vi både integralet med sinus og det for cosinus! Siden
[tex]\int e^{i \omega x} e^{\alpha x}\mathrm{d}x = \int \cos(\omega x) e^{\alpha x} \mathrm{d}x + i \int \sin(\omega x) e^{\alpha x} \mathrm{d}x[/tex]
Løser vi integralet får vi
[tex]I = \int e^{\alpha x} \cdot e^{i \omega x} \, \mathrm{d}x[/tex]
[tex]I = \int e^{(\alpha + i \omega) x} \, \mathrm{d}x[/tex]
[tex]I = \frac{1}{\alpha+i\omega} e^{\alpha x} e^{i \omega x} + \mathcal{C}[/tex]
Herfra ønsker vi å finne realdelen og imaginærdelen ( sammle alle ledd med [tex]i[/tex] og alle ledd uten [tex]i[/tex]) Trikset her er å se at
[tex] \frac{1}{\alpha+i\omega x} \cdot \frac{\alpha-i\omega x}{\alpha-i\omega x} = \frac{\alpha - i \omega}{\alpha^2 + \omega^2}[/tex]
Benytter vi oss av denne omskrivningen og Eulers formel får vi
[tex]I = \frac{\alpha - i \omega}{\alpha^2 + \omega^2} [ \cos (\omega x) + i \sin (\omega x)]e^{\alpha x} \, + \, \mathcal{C}[/tex]
[tex]I = \frac{1}{\alpha^2+\omega^2} [\alpha \cos(\omega x) + \omega \sin(\omega x)]e^{\alpha x} + i \frac{1}{\alpha^2+\omega^2}[\alpha \sin (\omega x) + \omega \cos (\omega x) ]e^{\alpha x} \, + \, \mathcal{C}[/tex]
Altså har vi at
[tex]\int \Re(e^{i\omega x})e^x\mathrm{d}x = \int \cos (\omega x) e^{\alpha x}\mathrm{d}x = \frac{1}{\alpha^2+\omega^2} [ \omega \sin(\omega x) - \alpha \cos(\omega x) ]e^{\alpha x} \, + \, \mathcal{C} [/tex]
og
[tex]\int \Im(e^{i\omega x})e^x\mathrm{d}x = \int \sin (\omega x) e^{\alpha x} = \frac{1}{\alpha^2+\omega^2}[\alpha \sin (\omega x) + \omega \cos (\omega x) ]e^{\alpha x} \, + \, \mathcal{C[/tex]
Et helt tilsvarende resultat kan bli vist via delvis integrasjon, men det er litt mer arbeid. Utelatte litt mellomregninger og annet pirk som du kan fylle inn selv.
Dette er enda en av disse kjipe attpåklatt kommentarene, som du antakeligvis får bruk for om 1 til 2 år
