Page 1 of 1
Inverse funksjoner
Posted: 22/10-2005 13:45
by Jerry
Hvordan går jeg frem for å finne inversen til g(x) = f(x) -2, vet at f er 1-1 med invers f^-1.
Posted: 22/10-2005 15:12
by Solar Plexsus
Siden f er 1-1 og (1) g(x)=f(x)-2, er g også 1-1 (Bevis: Anta at g(x)=g(y) => f(x)-2=f(y)-2 => f(x)=f(y) => x=y da f er 1-1).
Funksjonallikningen (1) gir
g(g[sup]-1[/sup](x)) = f(g[sup]-1[/sup](x)) - 2
x = f(g[sup]-1[/sup](x)) - 2
f(g[sup]-1[/sup](x)) = x + 2
f[sup]-1[/sup][f(g[sup]-1[/sup](x))] = f[sup]-1[/sup](x+2)
g[sup]-1[/sup](x) = f[sup]-1[/sup](x+2).
Posted: 22/10-2005 15:45
by Jerry
Åi, tusen takk for en kjempefin gjennomgang med bevis! Veldig ryddig og oversiktlig også. Finfint!
Posted: 22/10-2005 18:32
by Jerry-igjen
Har brukt den måten du brukte på et par oppgaver nå, gikk fint. Kom til følgende oppgave, finn inversen til g^-1 (1) av g(x) = x^3 + x - 9
Prøvde å la y = f^-1(x)
x = f(y) = y^3 + y - 9
..men så kom jeg ikke lengre.
Posted: 22/10-2005 19:19
by Solar Plexsus
Ved å sette x=g[sup]-1[/sup](1) får du at g(x)=g(g[sup]-1[/sup](1))=1. M.a.o. er x løsningen av likningen x[sup]3[/sup]+x-9=1, dvs. at
x[sup]3[/sup] + x - 10 = 0.
Denne tredjegradslikningen har kun en reell løsning, nemlig x=2. Dermed kan vi konkludere med at g[sup]-1[/sup](-1)=2.
Posted: 22/10-2005 20:09
by Jerry
Må si at jeg ikke helt skjønte hvorfor du gjorde hva du gjorde, men kanskje det ikke er noen annen måte å gjøre det på som er lettere å forstå.
Posted: 23/10-2005 00:38
by Solar Plexsus
Først må jeg påpeke en feil i konklusjonen på siste linje der jeg har skrevet at g[sup]-1[/sup](-1)=2. Det skal selvsagt være g[sup]-1[/sup](1)=2.
Her følger en mer detaljert forklaring på min fremgangsmåte:
Vi observerer at i dette tilfellet er g[sup]-1[/sup](1) den ukjente størrelsen vi skal bestemme. Sett i lys av dette faktum finner jeg det naturlig å sette x=g[sup]-1[/sup](1). Herav følger at
(1) g(x)=g(g[sup]-1[/sup](1)).
Ettersom g og g[sup]-1[/sup] er inverse funksjoner, må g(g[sup]-1[/sup](y))=y for alle y i D[sub]g[sup]-1[/sup][/sub] = V[sub]g[/sub] = R. Spesielt får vi ved å sette y=1 i (1) at g(g[sup]-1[/sup](1))=1, så iht. (1) er
(2) g(x)=1.
I.o.m. at g(x)=x[sup]3[/sup]+x-9, er (2) ekvivalent med
x[sup]3[/sup] + x - 9 = 1
x[sup]3[/sup] + x - 10 = 0
(x - 2)(x[sup]2[/sup] + 2x + 5) = 0
Ergo blir x=2 fordi andregradslikningen x[sup]2[/sup]+2x+5=0 har ingen reelle løsninger. Dermed kan vi konkludere med at
g[sup]-1[/sup](1) = x = 2.
Posted: 23/10-2005 00:48
by Jerry
Nok en gang, takk skal du ha.
Nå skjønner jeg det faktisk!