matematikk.net

Hei!

Jobber med følgende inhomogene differensligning:

[tex]$${y_n} + 5{y_{n - 1}} - 6{y_{n - 2}} = 14n - 70\;\;\;for\;n \ge 2$$[/tex]


Løsning av den karakteristiske ligningen:

[tex]$$\lambda = \left\{ {\matrix{1 \cr { - 6} \cr } } \right.$$[/tex]


Den generelle homogene løsningen blir:

[tex]$$ \Rightarrow {y_h} = A + B \cdot {\left( { - 6} \right)^n}$$[/tex]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=a% ... n-2%29%3D0 (kopier hele linken)


[tex]$$Gjetter:\;\;{y_p} = Cn + D$$[/tex]


[tex]$$Cn + D + 5\left[ {C\left( {n - 1} \right) + D} \right] - 6\left[ {C\left( {n - 2} \right) + D} \right] = 14n - 70$$[/tex]


[tex]$$Cn + D + 5\left( {Cn - C + D} \right) - 6\left( {Cn - 2C + D} \right) = 14n - 70$$[/tex]


[tex]$$\left( {C + 5C - 6C} \right) \cdot n + \left( {D - 5C + 5D + 12C - 6D} \right) = 14n - 70$$[/tex]


[tex]$${\rm I}:\;\;C + 5C - 6C = 14 \Leftrightarrow 0 \cdot C = 14 \Rightarrow Ingen\;konklusjon$$[/tex]


[tex]$${\rm I}{\rm I}:\;\;D - 5C + 5D + 12C - 6D = - 70$$[/tex]


[tex]$$7C = - 70 \Rightarrow C = - 10$$[/tex]



[tex]$${y_n} = A + B \cdot {\left( { - 6} \right)^n} - 10n$$[/tex]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=a% ... 9%3D14n-70 (kopier hele linken)


Er det jeg har gjort riktig? Var litt uvandt med det ligningssettet og mitt endelige svar passer ikke med Wolf...

Problemet er at konstanter allerede er løsning av den homogene ligningen. Derfor tror jeg du må gjette på en partikulærløsning på formen [tex]Cn+Dn^2[/tex].

Dette er analogt med f.eks. 2.ordens diffligninger. Har du en karakteristisk ligning med dobbelrot må du gange den ene løsningen med variabelen du deriverer mhp.

plutarco wrote:Problemet er at konstanter allerede er løsning av den homogene ligningen. Derfor tror jeg du må gjette på en partikulærløsning på formen [tex]Cn+Dn^2[/tex].

Dette er analogt med f.eks. 2.ordens diffligninger. Har du en karakteristisk ligning med dobbelrot må du gange den ene løsningen med variabelen du deriverer mhp.

Ja, selvfølgelig - takk!

Det var visst ingen selvfølge - burde jeg gjettet [tex]$$Cn + {\left( { - 6} \right)^{{n^2}}}$$[/tex] ?

Da jeg gjettet på [tex]$$Cn + D{n^2}$$[/tex] ble det ikke riktig svar (forutsatt at jeg har løst det riktig).

Hvis dere er skrå sikre kan jeg jo poste forsøket mitt.

Da tror jeg du har regnet feil. Jeg fikk i alle fall at [tex]y_p=-\frac{51}{7}n+n^2[/tex] ved innsetting.

plutarco wrote:Da tror jeg du har regnet feil. Jeg fikk i alle fall at [tex]y_p=-\frac{51}{7}n+n^2[/tex] ved innsetting.

Takk for at du tok deg tiden, da skal jeg også få dette til!

(PS; er enig i det vi gjetter)