matematikk.net

Finne tangenten og normalen til kurven ved punktet (2,3)
x[sup]2[/sup]+xy-y[sup]2[/sup]=1

Det er to måter å løse denne på:
1. Du kan algebraisk komme frem til et eksplisitt uttrykk for y, så derivere.
2. Du kan derivere over det hele med henhold til x og bruke kjerneregelen.
Da tenker vi gjerne på y som en funksjon av x, så vi får:
[tex]x^2 + xy - y^2 = 1[/tex]. Vi deriverer på begge sider med henhold til x og får:
[tex]D(x^2) + D(xy(x)) - D(y(x)^2) = D(1) = 0[/tex].
Resten kan du prøve på selv. Husk å bruke kjerneregelen.

Jeg forstår at det blir:
2x+skjønner ikke hva man gjør med xy-2y dy/dx=0
Så det er det jeg gjør med xy jeg ikke helt forstår. ?

Okey. Si at har to funksjoner [tex]f(x), g(x)[/tex]. Dersom du ønsker å derivere produktet av disse får du:
[tex]D(f(x)g(x)) = D(f(x))g(x) + f(x)D(g(x))[/tex] (produktregelen for derivasjon).
Sett nå [tex]f(x)=x[/tex] og la g(x) være den ukjente funksjonen y(x). Da finner du:
[tex]D(xy(x))[/tex] akkurat som over. Gjenta det samme for [tex]D(y(x)^2[/tex], bare at du her bruker kjerneregelen over x. Da vil du få et uttrykk som inneholder y', y og x. Løs dette for y' for å være stigningstallet i ethvert punkt gitt ved (x,y).

Her er et løsningsforslag på en VELDIG lik oppgave. Se også den forrige videoen for litt mer forståelse for hva implisitt derivasjon er.