Rekke med sinus absolutt konvergens
Posted: 12/10-2012 09:50
Hei!
Har følgende oppgave:
[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\sin n} \over {{n^3} + 1}}} $$[/tex]
Vet at [tex]$$ - 1 < \sin n < 1 \to \left| {\sin n} \right| \le 1$$[/tex] altså sinus leddet kan hvertfall ikke så større verdi en 1.
Bruker sammenligningstesten da den ofte viser deg egnet der vi har sin,cos:
P.g.a dette kan jeg skrive: [tex]$${a_n} \le c \cdot {b_n}$$[/tex]
[tex]$$\left| {{{\sin n} \over {{n^3} + 1}}} \right| \le {1 \over {{n^3}}}$$[/tex] (p-rekke med p=3, som vi vet konvergerer)
[tex]$$ \Rightarrow Absolutt\;konvergens$$[/tex]
Da sin n ikke kan ha større verdi enn 1 og fjerne "støy" fra nevneren (+1) har jeg vist at min opprinnelige brøk er nødt til å være mindre enn den brøken jeg sammenligner med, som jeg vet konvergerer!
1. Økte teller (hever verdien av brøken)
2. Reduserte teller (hever verdien av brøken)
Mitt spørsmål: Burde jeg skrevet: [tex]$$\left| {{{\sin n} \over {{n^3} + 1}}} \right| \le c \cdot {1 \over {{n^3}}}$$[/tex]
Savner liksom en konstant her?
Har følgende oppgave:
[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\sin n} \over {{n^3} + 1}}} $$[/tex]
Vet at [tex]$$ - 1 < \sin n < 1 \to \left| {\sin n} \right| \le 1$$[/tex] altså sinus leddet kan hvertfall ikke så større verdi en 1.
Bruker sammenligningstesten da den ofte viser deg egnet der vi har sin,cos:
P.g.a dette kan jeg skrive: [tex]$${a_n} \le c \cdot {b_n}$$[/tex]
[tex]$$\left| {{{\sin n} \over {{n^3} + 1}}} \right| \le {1 \over {{n^3}}}$$[/tex] (p-rekke med p=3, som vi vet konvergerer)
[tex]$$ \Rightarrow Absolutt\;konvergens$$[/tex]
Da sin n ikke kan ha større verdi enn 1 og fjerne "støy" fra nevneren (+1) har jeg vist at min opprinnelige brøk er nødt til å være mindre enn den brøken jeg sammenligner med, som jeg vet konvergerer!
1. Økte teller (hever verdien av brøken)
2. Reduserte teller (hever verdien av brøken)
Mitt spørsmål: Burde jeg skrevet: [tex]$$\left| {{{\sin n} \over {{n^3} + 1}}} \right| \le c \cdot {1 \over {{n^3}}}$$[/tex]Savner liksom en konstant her?
