matematikk.net

Hei!

Jeg sitter med en oppgave hvor jeg har funksjonen f(x) = x*e^(x^2 -1)/2
og blir bedt om å finne definisjonsområdet til den omvendte funksjonen.

Jeg har vist at den er injektiv på intervallet [-1, 1], og at den derfor har en invers på det nevnte intervallet, men etter litt meningsløs prøving og feiling innser jeg at det ikke er mulig å løse med hensyn på x (?).

Kan jeg se på hvilke verdier f gir, og bruke dette som definisjonsområdet til f^-1?

Edit: MAO er f^-1 definert for [-1, 1]?

Ja, det kan du! Inversfunksjonen skal jo nettopp ta "y-verdiene" vi fikk fra f og "gi tilbake" x-verdien. Med andre ord må verdimengden til f når x er i intervallet [-1,1] være definisjonsmengden til inversen.

Funksjonen [tex]f(x) = \frac{1}{2}xe^{x^2-1}[/tex] er definert og injektiv for alle x (vis dette!). Definisjonsområdet til den omvendte funksjonen [tex]f^{-1}[/tex] er derfor lik rekkevidden / verdimengden / bildet til f.

Edit: Noen kom meg visst i forkjøpet.

Takk til begge!

Var litt slumsete da jeg skrev ned oppgaven, det skulle stå f(x) = x*e^((1-x^2)/2)

Det skulle gi f'(x) = e^((x^2 -1)/2)*(x^2 -1), som tilsier at den er injektiv på [-1, 1]

Blir også bedt om å bergne [tex] \lim_{y\to 1^{-}} (1-y)[g\prime(y)]^{2}[/tex]

Hvordan bør jeg angripe dette? Jeg vet at implisitt derivasjon gir at f^-1'(f(x)) = 1/(f'(x)). Her ser vi at f(x) -> 1 når x -> 1, altså vil g'(y) gå mot (1/0) når y->1-, siden f'(1) = 0.

Men for å kunne bruke l^Hôpital på grensen, må jeg finne en måte å sette inn 1/f'(x) for g'(y).

Har jeg lov til å gjøre dette:

[tex] \lim_{y\to 1^{-}} (1-y)[g\prime(y)]^{2} = \lim_{x\to1^{-}}(1-x)[\frac{1}{f\prime(x)}]^{2}[/tex]


Any takers?

I den siste grenseverdien skal det vel vere f(x) i staden for x, dvs. du må sjå på denne grenseverdien (når y går mot 1, dvs. når x går mot 1):

[tex]lim{\frac{1-f(x)}{f^{\prime}(x)^{2}}}[/tex]

Viss du skriv ut dette, får du eit "0 over 0" uttrykk, og du kan bruke L'Hôpital.