matematikk.net

Jeg skal finne den deriverte til f(x) = cos x ^ x, x>0.

Og fikk vite at jeg måtte bruke følgende:

x^x kan skrives på formen e^(xlnx).

Sett g(x) = x^x og h(x)= e^(g(x)).
Da blir funksjonen: f(x) = cos(h(g(x))).
Da kan du bruke kjerneregelen.
Kan noen forklare meg hvordan jeg bruker kjerneregelen i dette tilfellet?

fugmag

La i første omgang x^x=u. Da blir

(df/dx)=-sin(u)*(du/dx)

ved kjerneregel. La så ln(u)=x*ln(x). Deriverer implisitt:

(1/u)*(du/dx)=ln(x)+1

(du/dx)=(ln(x)+1)*x^x

Da har vi

(df/dx)=-sin(x^x)*(ln(x) + 1)*x^x


Tror det skulle stemme...

Bruker du substitusjonen u=x[sup]x[/sup] med g(u)=cos u, finner du vha. kjerneregelen at

(1) f´(x) = [cos x[sup]x[/sup]]´ = u´[sub]*[/sub] g´(u) = u´[sub]*[/sub] (-sin u) = - (x[sup]x[/sup])´[sub]*[/sub] sin x[sup]x[/sup].

For å bestemme den deriverte av x[sup]x[/sup], bruker du omskrivningen

x[sup]x[/sup] = e^(ln x[sup]x[/sup]) = e[sup]x ln x[/sup].

Setter du v=x ln x med h(v)=e[sup]v[/sup], får du at

v´ = (x ln x)´ = (x)`ln x + x (ln x)´ = 1[sub]*[/sub]ln x + x[sub]*[/sub](1/x) = 1 + ln x og

h´(v) = (e[sup]v[/sup])´= e[sup]v[/sup] = e[sup]x ln x[/sup] = x[sup]x[/sup].

Dermed gir kjerneregelen at

(x[sup]x[/sup])`= v`[sub]*[/sub] h´(v) = (1 + ln x) x[sup]x[/sup].

Dette i kombinasjon med (1) gir

f´(x) = - (1 + ln x) x[sup]x[/sup] [sub]*[/sub] sin x[sup]x[/sup].