Page 1 of 1

Lineær transformasjon og egenvektor

Posted: 05/11-2012 22:04
by Razzy
Image

[tex]$$T\left( \vec{e} \right) = M\left[ {\matrix{1 \cr 2 \cr } } \right] = \left[ {\matrix{1 & 2 \cr { - 1} & 1 \cr } } \right] \cdot \left[ {\matrix{1 \cr 2 \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{1 + 4} \cr { - 1 + 2} \cr } } \right] = \underline{\underline {\left[ {\matrix{5 \cr 1 \cr } } \right]}} $$[/tex]

[tex]$$T\left( \vec{e} \right) = M\left[ {\matrix{{ - 1} \cr 1 \cr } } \right] = \left[ {\matrix{1 & 2 \cr { - 1} & 1 \cr } } \right] \cdot \left[ {\matrix{{ - 1} \cr 1 \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{ - 1 + 2} \cr {1 + 1} \cr } } \right] = \underline{\underline {\left[ {\matrix{1 \cr 2 \cr } } \right]}} $$[/tex]

Her dannet jeg transformasjonsmatrisen slik: [tex]$$M=\left[ {\matrix{{p + 2q} \cr { - p + q} \cr } } \right] = \left[ {\matrix{1 & 2 \cr { - 1} & 1 \cr } } \right] \cdot \left[ {\matrix{p \cr q \cr } } \right]$$[/tex]


Nå sier oppgaven: Svarene blir spesielt i begge tilfeller. Hva kalles vektorene [tex]\vec{e}\;[/tex],[tex]\vec{f}[/tex] og hva er spesielt?

I neste oppgave står det at de er egenvektorer.


:?: Hvorfor er de det? Etter det jeg har funnet utav, er f.eks vektor [tex]\vec{e}[/tex] en egenvektor hvis: [tex]T(\vec{e})=\lambda\vec{e}[/tex]

Uansett hva jeg gjør, går det ikke å skrive: [tex]\left[{\matrix{5 \cr 1 \cr } } \right]=\left[ {\matrix{1 \cr 2 \cr } } \right] \Leftrightarrow 5 \cdot \left[ {\matrix{1 \cr {{1 \over 5}} \cr } } \right]=2 \cdot \left[ {\matrix{{{1 \over 2}} \cr 1 \cr } } \right][/tex]

Khana sier at det kun er langs en linje (ganget med en skalar). :cry:

Posted: 06/11-2012 14:35
by mstud
At både 5 over 1 og 1 over 2 er egenvektorer betyr ikke at 5 over 1 er lik 1 over 2, vel... Sorry for at dette ikke er skrevet i tex...

Har ikke lineær algebra før til våren, så vet ikke mye om dette...

Har du sett:
http://udl.no/matematikk/oppgaver/linea ... ktor-1-191

http://folk.uib.no/hpe090/Eldre/MAT121/ ... erdier.pdf

http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4115/2 ... 1-1-m2.pdf
?

Posted: 06/11-2012 15:00
by viking
Egenvektorene er de vektorene som beholder retning ved transformasjonen. Lengden blir ganget med egenverdien.

Du kan altså bytte ut hele transformajonen med å bare multiplisere med egenverdien i stedet.

Posted: 06/11-2012 17:07
by Razzy
viking wrote:Egenvektorene er de vektorene som beholder retning ved transformasjonen. Lengden blir ganget med egenverdien.

Du kan altså bytte ut hele transformajonen med å bare multiplisere med egenverdien i stedet.
Ok, men hvis jeg skisserer vektorene (transformert og ikke transformert) finner jeg ut at de skifter retning?

Er du enig i det? Dvs er du enig i at de ikke er egenvektorer?

Posted: 06/11-2012 19:05
by Razzy
Razzy wrote:
viking wrote:Egenvektorene er de vektorene som beholder retning ved transformasjonen. Lengden blir ganget med egenverdien.

Du kan altså bytte ut hele transformajonen med å bare multiplisere med egenverdien i stedet.
Ok, men hvis jeg skisserer vektorene (transformert og ikke transformert) finner jeg ut at de skifter retning?

Er du enig i det? Dvs er du enig i at de ikke er egenvektorer?

[tex]$$\left[ {\matrix{5 \cr 1 \cr } } \right] = \lambda \left[ {\matrix{1 \cr 2 \cr } } \right] = \left[ {\matrix{\lambda \cr {2\lambda } \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$\left. \matrix{5 = \lambda \hfill \cr 1 = 2\lambda \hfill \cr} \right\} \Rightarrow 1 \ne 5 \cdot 2 = 10$$[/tex]

Kilde: http://udl.no/matematikk/oppgaver/linea ... ktor-1-191 (takk mstud)


Føler dette er i tråd med skissa jeg har tegnet