matematikk.net

Hvordan kan jeg bruke teoremet T(u+v) = T(u) + T(v) og T(cU) = cT(u), til å avgjøre om T: R^2 -> R^2 er en lineær operasjon? T(x,y) = (2x,y)

Ingen som vet, bare denne jeg står fast på!

Hvis u=(x[sub]1[/sub],y[sub]1[/sub]), v=(x[sub]2[/sub],y[sub]2[/sub]) og c en skalar, blir u + v = (x[sub]1[/sub],y[sub]1[/sub]) + (x[sub]2[/sub],y[sub]2[/sub]) = (x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub], y[sub]1[/sub] + y[sub]2[/sub]) og cu = c(x[sub]1[/sub],y[sub]1[/sub]) = (cx[sub]1[/sub],cy[sub]1[/sub]). Ergo blir

1) T(u + v) = T( (x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub], y[sub]1[/sub] + y[sub]2[/sub]) ) = ( 2(x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub]), y[sub]1[/sub] + y[sub]2[/sub] )
= (2x[sub]1[/sub] + 2x[sub]2[/sub], y[sub]1[/sub] + y[sub]2[/sub]) = (2x[sub]1[/sub], y[sub]1[/sub]) + (2x[sub]2[/sub], y[sub]2[/sub]) = T(u) + T(v).

2) T(cu) = T( (cx[sub]1[/sub], cy[sub]1[/sub]) ) = (2cx[sub]1[/sub], cy[sub]1[/sub]) = c(2x[sub]1[/sub], y[sub]1[/sub]) = c T(u).

Dermed kan vi konkludere med at T er en lineærtransformasjon.

Se der ja, takk takk.
Kort, hva skjer når T(x,y) = (-y,x) ?
Jeg kan jo ikke bytte rekkefølge på de? Det er jo ikke X-leddet som skal ha minus forann.

I dette tilfellet blir

1) T(u + v) = T( (x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub], y[sub]1[/sub] + y[sub]2[/sub]) ) = ( -(y[sub]1[/sub] + y[sub]2[/sub]), x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub] )
= (-y[sub]1[/sub] - y[sub]2[/sub], x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub]) = (-y[sub]1[/sub], x[sub]1[/sub]) + (-y[sub]2[/sub], x[sub]2[/sub]) = T(u) + T(v).

2) T(cu) = T( (cx[sub]1[/sub], cy[sub]1[/sub]) ) = (-cy[sub]1[/sub], cx[sub]1[/sub]) = c(-y[sub]1[/sub], x[sub]1[/sub]) = c T(u).

Konklusjon: T er en lineærtransformasjon.

Takk igjen, Solar Plexus, kan jeg spørre hva du studerer og hvor lenge du har studert siden det virker som du vet alt..