matematikk.net

hei. hvordan løser man denne liknignen med potensserie. regner med det er det same some power series.

altså funksjonen y er på formen: [symbol:sum] a_n x^n


ligningen er slik:
y' = x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]

y = 1 når x = 0

et av problemene er når y^2. da må power serien også opphøyes i andre?

jeg har ellers egentlig ingen annelse hvordan jeg skal klare denne.

EDIT
svaret trenger bare å ha de 4 første ikke null termene.

La [tex]y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n[/tex] være rekkeutviklingen av [tex]y[/tex]. Da er

[tex]y^{\prime} \:=\: \sum_{n=1}^{\infty} na_n x^{n-1} \:=\: \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^n[/tex]

og

[tex]y^2 \:=\: \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \; \cdot \; \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \:=\: \sum_{n=0}^{\infty} (\sum_{i=0}^n a_i a_{n-i}) x^n[/tex].

Innsatt i differensiallikningen

[tex]y^{\prime} = x^2 + y^2[/tex]

gir dette

[tex](1) \; \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^n \:=\: x^2 \:+\: \sum_{n=0}^{\infty} (\sum_{i=0}^n a_i a_{n-i}) x^n[/tex].

Ifølge initialbetingelsen er [tex]1 = y(0) = a_0.[/tex]

Ved å sammenlikne koeffisientene på venstre og høyre side av (1), får vi at

[tex]a_1 = a_0^2 = 1^2 = 1 \; (n=0),[/tex]

[tex]2a_2 = 2a_0a_1 = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2 \; (n=1)[/tex]

[tex]3a_3 = 1 + 2a_2a_0 + a_1^2 = 1 + 2 \cdot 1 + 1^2 = 4 \; (n=2)[/tex].

Altså er [tex]a_0=a_1=a_2=1[/tex] og [tex]a_3=4/3[/tex].