matematikk.net

Hei, er det noen som kan hjelpe meg med denne:

Anta f: reelle tall -> reelle tall er en kontinuerlig funksjon s.a.

f(x+y) = f(x)f(y)

Bevis at f er deriverbar hvis f'(0) eksisterer.

Har fått et hint: f(x) = f(x+0) = f(x)f(0).

Noen som vet hvordan denne løses?

Marianne

Anta at f´(0) eksisterer. Av hintet du oppgir følger at

(f(0) - 1)f(x) = 0

Altså vil f(0)=1 eller f(x)=0 for alle reelle tall x. I dette tilfellet blir f´(x)=0 for alle reelle tall x, så f er deriverbar overalt.

Anta dernest at f ikke er 0 overalt. Da må f(0)=1. Definisjonen av den deriverte i kombinasjon med funksjonallikningen f(x+y)=f(x)f(y) gir

f´(x) = lim (y->0) [(f(x + y) - f(x)) / y] = lim (y->0) [(f(x)f(y) - f(x)) / y]
= f(x) [sub]*[/sub] lim(y->0) [(f(y) - 1) / y] = f(x) [sub]*[/sub] lim(y->0) [(f(0 + y) - f(0)) / y] = f(x) [sub]*[/sub] f´(0).

PS: Alle potensfunksjoner a[sup]x[/sup] der a er en positiv konstant, tilfredsstiller den omtalte funksjonallikningen.

tusen takk for et oversiktlig svar.

Marianne